Encontre as parametrizaçōes das curvas de interseção das superficies abaixo:
Superficies z+1=x^2-y^2 e z+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar as parametrizações das curvas de interseção entre o paraboloide hiperbólico dado por z+1=x^2-y^2 e o plano z+1=0. Vamos usar a teoria de interseção de superfícies: substituímos o valor de z do plano na equação do paraboloide para obter a curva no plano z=-1.

Passo 2

Substituindo z=-1 na equação z+1=x^2-y^2 temos
(-1)+1 = x^2 - y^2
que simplifica para
0 = x^2 - y^2
Isso implica
x^2 = y^2 Longrightarrow y = pm x

Passo 3

As duas retas de interseção no plano z=-1 são dadas por y=x e y=-x. Para parametrizar retas no espaço, escolhemos um parâmetro tin R tal que:
  • Para y=x: x=t, y=t, e sempre z=-1.
  • Para y=-x: x=t, y=-t, e sempre z=-1.

Resposta

As parametrizações das duas curvas de interseção são
r1(t) = (t,,t,,-1), tin R,
r2(t) = (t,,-t,,-1), tin R

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