Calcule o valor de
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado. O enunciado pede calcular
, sendo
-
. -
. - No ponto
temos e . - No ponto
também foram dadas as gradientes
e .
As perguntas são: calcular explicitamente o vetor gradiente
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (regra da cadeia para gradientes). Para uma composição
vale a identidade vetorial
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, avaliadas em
. Explicando em palavras: a mudança de
em
vem da soma das contribuições de como
muda quando
muda (multiplicada pela variação de
em
) mais a contribuição análoga para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Usando regra da cadeia elementar:
- Diferenciando em relação a
tratando como constante:
- Diferenciando em relação a
tratando como constante:
Aqui
e
nas fórmulas são as variáveis da função
; depois vamos avaliar em
.
Passo 4
Avaliar
e
no ponto correspondente. Primeiro calcule
no ponto
:
Portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula vetorial com as gradientes dadas:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Simplificar termo a termo. Primeiro simplificar o fator
:
Logo o primeiro vetor é
.
Para o segundo vetor:
Passo 7
Somar os dois vetores para obter o gradiente: