Calcule o valor de \nabla g(0,0)\
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)), f(u, v)=e^{u v}
u(0,0)=4, \quad \nabla u(0,0)=\frac{1}{\ln 4}(2,-1)
v(0,0)=\ln 2, \nabla v(0,0)=\frac{1}{4}(1,3)

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado. O enunciado pede calcular \nabla g(0,0), sendo
  • g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).
  • f(u,v)=e^{u v}.
  • No ponto (0,0) temos u(0,0)=4 e v(0,0)=\ln 2.
  • No ponto (0,0) também foram dadas as gradientes
    \nabla u(0,0)=\dfrac{1}{\ln 4}(2,-1) e \nabla v(0,0)=\dfrac{1}{4}(1,3).
As perguntas são: calcular explicitamente o vetor gradiente \nabla g(0,0).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (regra da cadeia para gradientes). Para uma composição g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) vale a identidade vetorial
\nabla g(x,y)=f_u(u,v)\,\nabla u(x,y)+f_v(u,v)\,\nabla v(x,y),
onde f_u e f_v são as derivadas parciais de f em relação a u e v, avaliadas em (u(x,y),v(x,y)). Explicando em palavras: a mudança de g em x,y vem da soma das contribuições de como f muda quando u muda (multiplicada pela variação de u em x,y) mais a contribuição análoga para v.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(u,v)=e^{u v}. Usando regra da cadeia elementar:
  • Diferenciando em relação a u tratando v como constante:
f_u(u,v)=\frac{\partial}{\partial u}e^{u v}=v\,e^{u v}.
  • Diferenciando em relação a v tratando u como constante:
f_v(u,v)=\frac{\partial}{\partial v}e^{u v}=u\,e^{u v}.
Aqui u e v nas fórmulas são as variáveis da função f; depois vamos avaliar em u(0,0),v(0,0).

Passo 4

Avaliar f_u e f_v no ponto correspondente. Primeiro calcule e^{u v} no ponto (0,0):
e^{u(0,0)\,v(0,0)}=e^{4\cdot \ln 2}=e^{\ln(2^4)}=2^4=16.
Portanto
f_u\big(u(0,0),v(0,0)\big)=v(0,0)\,e^{u(0,0)v(0,0)}=(\ln 2)\cdot 16=16\ln 2,
f_v\big(u(0,0),v(0,0)\big)=u(0,0)\,e^{u(0,0)v(0,0)}=4\cdot 16=64.

Passo 5

Aplicar a fórmula vetorial com as gradientes dadas:
\nabla g(0,0)=f_u(u,v)\,\nabla u(0,0)+f_v(u,v)\,\nabla v(0,0).
Substituindo os valores encontrados:
\nabla g(0,0)=16\ln 2\cdot \frac{1}{\ln 4}(2,-1)+64\cdot \frac{1}{4}(1,3).

Passo 6

Simplificar termo a termo. Primeiro simplificar o fator \dfrac{16\ln 2}{\ln 4}:
\ln 4=\ln(2^2)=2\ln 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{16\ln 2}{\ln 4}=\frac{16\ln 2}{2\ln 2}=8.
Logo o primeiro vetor é 8(2,-1)=(16,-8).
Para o segundo vetor:
64\cdot \frac{1}{4}(1,3)=16(1,3)=(16,48).

Passo 7

Somar os dois vetores para obter o gradiente:
\nabla g(0,0)=(16,-8)+(16,48)=(32,40).

Resposta

\nabla g(0,0)=(32,40)

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