Determine se f é contínua:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x^{2}+3 y^{2}} & , \text { se } x>y \\\\ 2|y| & , \text { se } x \leq y\end{array}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes definida em \mathbb{R}^2\): \[f(x,y)=\begin{cases} \sqrt{x^{2}+3y^{2}}, & \text{se } x>y,\\[4pt] 2|y|, & \text{se } x\leq y. \end{cases}
A pergunta é: determinar se f\] é contínua (isto é, contínua em todos os pontos do plano ou identificar onde não é). Informações relevantes que temos do enunciado: - Há duas fórmulas diferentes, aplicadas conforme a região do plano (região estrita \(x>y e região x\leq y que inclui a reta x=y).
- A reta x=y é a fronteira entre as duas regiões; é nela que pode haver problema de continuidade, pois dentro de cada região a fórmula é única.]

Passo 2

Definição útil (em palavras): f é contínua num ponto (a,b) se, ao aproximarmos (x,y) de (a,b) por qualquer caminho, o valor f(x,y) tende para f(a,b). Estratégia: verificar separadamente
  1. pontos com a>b (interior da região x>y);
  2. pontos com a<b (interior da região x<y);
  3. pontos na reta a=b (fronteira), que é o caso crítico.
Também usarei fatos básicos (com justificativa breve): polinômios em x,y são contínuos; a função (x,y)\mapsto x^{2}+3y^{2} é contínua; a raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty); a composição de funções contínuas é contínua; a função y\mapsto |y| é contínua. Esses fatos permitem concluir continuidade das expressões nas regiões onde são definidas.

Passo 3

Pontos com a>b. Seja (a,b) tal que a>b. Porque a desigualdade é estrita, existe um pequeno raio em torno de (a,b) onde mantém-se x>y. Formalmente, tome
\delta=\frac{a-b}{2}>0.
Se |x-a|<\delta e |y-b|<\delta, então
x-y=(x-a)-(y-b)+(a-b)>\,-|x-a| -|y-b| +(a-b) > -\delta-\delta+(a-b)=0,
logo x>y nesse vizinho. Nessa vizinhança f(x,y)=\sqrt{x^{2}+3y^{2}}. Como a função (x,y)\mapsto x^{2}+3y^{2} é contínua e \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty), a composição (x,y)\mapsto \sqrt{x^{2}+3y^{2}} é contínua. Logo f é contínua em (a,b).
(Dica prática para prova: sempre que a desigualdade for estrita você pode pegar \delta pequeno para manter a mesma fórmula na vizinhança, e então usar continuidade da expressão simples.)

Passo 4

Pontos com a<b. O argumento é análogo ao do passo anterior. Tome
\delta=\frac{b-a}{2}>0.
Se |x-a|<\delta e |y-b|<\delta então, por desigualdade semelhante,
y-x>(b-a)-2\delta=0,
portanto x<y nessa vizinhança e f(x,y)=2|y| ali. Como y\mapsto |y| é contínua, a função (x,y)\mapsto 2|y| é contínua (não depende de x de forma problemática). Assim f é contínua em (a,b).

Passo 5

Pontos na fronteira a=b. Agora (a,a) com a\in\mathbb{R}. O valor definido por f na reta é dado pelo ramo x\leq y, portanto
f(a,a)=2|a|.
Para provar continuidade em (a,a) precisamos mostrar que, para qualquer caminho (x,y)\to(a,a), f(x,y)\to 2|a|. Como a vizinhança pode aproximar-se tanto por pontos com x\le y quanto por pontos com x>y, devemos verificar os limites vindos dos dois lados coincidem com 2|a|.
  • Aproximação por pontos com x\le y: aí f(x,y)=2|y|. Como (x,y)\to(a,a) implica y\to a, temos 2|y|\to 2|a| pela continuidade do valor absoluto.
  • Aproximação por pontos com x>y: aí f(x,y)=\sqrt{x^{2}+3y^{2}}. Como (x,y)\mapsto x^{2}+3y^{2} é contínua e \sqrt{\cdot} também, segue que
\lim_{(x,y)\to(a,a)}\sqrt{x^{2}+3y^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=\sqrt{4a^{2}}=2|a|.
Portanto, tanto aproximando-se por dentro da região x>y quanto por dentro de x\le y, o valor de f(x,y) tende para 2|a|, que é exatamente f(a,a). Logo f é contínua em todo ponto da reta x=y.
(Uma forma alternativa — e frequentemente usada em prova — é usar a continuidade das duas funções componentes e observar que seus limites coincidem na fronteira, logo o limite da função por partes existe e coincide com o valor dado.)

Passo 6

Conclusão unificada: nenhum ponto do plano causa descontinuidade. Em pontos com a>b e com a<b a continuidade vem do fato de que numa vizinhança a função é dada por uma única expressão contínua; em pontos com a=b as duas possíveis aproximações levam ao mesmo limite 2|a|, que é o valor da função. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

f é contínua em todo \mathbb{R}^2.

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