Calcule o valor de \nabla g(0,0)\
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)), f(u, v)=\sqrt[3]{u^{5}-v^{2}+1}\
u(0,0)=4, \nabla u(0,0)=(5,-5)\
v(0,0)=5, \nabla v(0,0)=(10,5)

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede calcular \nabla g(0,0), ou seja os parciais \dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial g}{\partial y}(0,0).
  • A função é g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) com f(u,v)=\sqrt[3]{u^{5}-v^{2}+1}.
  • Dados no ponto (0,0):
    • u(0,0)=4.
    • \nabla u(0,0)=(5,-5). Logo u_x(0,0)=5 e u_y(0,0)=-5.
    • v(0,0)=5.
    • \nabla v(0,0)=(10,5). Logo v_x(0,0)=10 e v_y(0,0)=5.

Passo 2

Idea e fórmula que vamos usar (regra da cadeia para derivadas parciais).
  • Para uma composição g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) vale a regra da cadeia: \frac{\partial g}{\partial x}=f_{u}(u,v)\,u_{x}+f_{v}(u,v)\,v_{x}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=f_{u}(u,v)\,u_{y}+f_{v}(u,v)\,v_{y}.Aqui f_{u} e f_{v} são as derivadas parciais de f em relação a u e v, avaliadas no ponto (u(0,0),v(0,0)). u_x,u_y,v_x,v_y são as derivadas parciais de u e v no ponto (0,0).

Passo 3

Calcular f_{u} e f_{v} simbolicamente.
  • Escrevendo f(u,v)=(u^{5}-v^{2}+1)^{1/3}. Use a cadeia simples: se f=H(T) com H(T)=T^{1/3} e T(u,v)=u^{5}-v^{2}+1, então f_{u} = H'(T)\cdot T_{u} = \frac{1}{3}T^{-2/3}\cdot (5u^{4})e f_{v} = H'(T)\cdot T_{v} = \frac{1}{3}T^{-2/3}\cdot (-2v).
  • Ou seja, de forma mais limpa: f_{u}(u,v)=\frac{5}{3}u^{4}\,(u^{5}-v^{2}+1)^{-2/3}, \qquad f_{v}(u,v)=-\frac{2}{3}v\,(u^{5}-v^{2}+1)^{-2/3}.

Passo 4

Avaliar o fator comum T=(u^{5}-v^{2}+1) no ponto dado.
  • Peguei os valores u(0,0)=4 e v(0,0)=5.
  • Calcular T_0=u(0,0)^{5}-v(0,0)^{2}+1 = 4^{5}-5^{2}+1.
  • Compute passo a passo: 4^{2}=16,\quad 4^{3}=64,\quad 4^{4}=256,\quad 4^{5}=1024,e 5^{2}=25. Logo T_0=1024-25+1=1000.
  • Portanto T_0^{-2/3}=1000^{-2/3}.Como 1000=10^{3}, tem-se 1000^{1/3}=10 e então 1000^{-2/3}=(1000^{1/3})^{-2}=10^{-2}=\frac{1}{100}.

Passo 5

Calcular f_{u} e f_{v} numericamente no ponto.
  • Usando u=4, v=5 e T_0^{-2/3}=1/100: f_{u}(4,5)=\frac{5}{3}\cdot 4^{4}\cdot\frac{1}{100}.Como 4^{4}=256, f_{u}(4,5)=\frac{5\cdot 256}{3\cdot 100}=\frac{1280}{300}.Simplificando dividindo por 20: f_{u}(4,5)=\frac{64}{15}.
  • Para f_{v}: f_{v}(4,5)=-\frac{2}{3}\cdot 5\cdot\frac{1}{100}=-\frac{10}{300}=-\frac{1}{30}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia com os valores de u_x,u_y,v_x,v_y.
  • Peguei u_x(0,0)=5, u_y(0,0)=-5, v_x(0,0)=10, v_y(0,0)=5.
  • Calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0):
    \frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=f_{u}(4,5)\,u_{x}(0,0)+f_{v}(4,5)\,v_{x}(0,0).
    Substituindo:
    \frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\frac{64}{15}\cdot 5 + \left(-\frac{1}{30}\right)\cdot 10.
    Calcule passo a passo:
    \frac{64}{15}\cdot 5=\frac{64\cdot 5}{15}=\frac{320}{15}=\frac{64}{3}, \qquad -\frac{1}{30}\cdot 10=-\frac{10}{30}=-\frac{1}{3}.
    Então
    \frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\frac{64}{3}-\frac{1}{3}=\frac{63}{3}=21.
  • Calcular \dfrac{\partial g}{\partial y}(0,0):
    \frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=f_{u}(4,5)\,u_{y}(0,0)+f_{v}(4,5)\,v_{y}(0,0).
    Substituindo:
    \frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=\frac{64}{15}\cdot(-5) + \left(-\frac{1}{30}\right)\cdot 5.
    Calcule:
    \frac{64}{15}\cdot(-5)=-\frac{320}{15}=-\frac{64}{3}, \qquad -\frac{1}{30}\cdot 5=-\frac{5}{30}=-\frac{1}{6}.
    Somando:
    \frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=-\frac{64}{3}-\frac{1}{6}=-\frac{128}{6}-\frac{1}{6}=-\frac{129}{6}=-\frac{43}{2}.

Passo 7

Resultado final interpretado.
  • Juntando as componentes, a gradiente de g no ponto (0,0) é o vetor com as componentes que acabamos de calcular.

Resposta

\nabla g(0,0)=\bigl(21,\,-\tfrac{43}{2}\bigr)

Exercícios relacionados