Determine o domínio e imagem da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- Determinar o domínio de
(ou seja, o conjunto de pontos onde está definida). - Determinar a imagem (ou conjunto de valores) de
— todos os números reais que pode assumir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é constante igual a
. - O denominador é
, que pode ser zero para certos pares ; onde for zero a função não está definida.
Passo 2
Entendendo o domínio: uma função racional como
está definida sempre que o denominador
for diferente de zero. Aqui o denominador é
. Portanto a condição para
estar no domínio é
Vou explicar o que isso significa em termos geométricos e algébricos.
Passo 3
Análise algébrica do lugar onde o denominador é zero. Podemos fatorar a diferença de quadrados:
Essa expressão é zero exatamente quando
ou
, isto é, quando
ou
. Logo os pontos que anulam o denominador são todas as duplas
com
(duas retas passando pela origem).
Passo 4
Concluindo o domínio: a função está definida em todos os pontos do plano exceto nas duas retas
e
. Em notação de conjuntos:
Interpretação intuitiva: pode-se escolher qualquer par
desde que
não seja igual a
.
Passo 5
Agora a imagem. Seja
um valor candidato a pertencer à imagem; queremos ver para quais
existe algum
no domínio tal que
Resolvo essa equação em termos de
:
desde que
(pois
só faz sentido para
). Se
, a equação seria
, impossível; portanto
não pode estar na imagem.
Passo 6
Provar que todo
é realmente atingido por
. Tomemos dois casos:
- Caso
. Então . Basta escolher e . Esses valores são reais e satisfazem
logo
. Além disso
, então o ponto está no domínio.
- Caso
. Então . Escreva . Basta escolher e . Assim
o que novamente dá
. E
, então o denominador não é zero.
Dessa forma, para qualquer
construímos explicitamente um ponto
no domínio tal que
.
Passo 7
Conclusão sobre a imagem: como
não é possível e todo
é atingido, a imagem de
é o conjunto de todos os números reais exceto zero. Em notação:
Resposta
Domínio:
Imagem: