Determine o domínio e imagem da função:
f(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}.
O que se pede:
  • Determinar o domínio de f (ou seja, o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 onde f está definida).
  • Determinar a imagem (ou conjunto de valores) de f — todos os números reais que f pode assumir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é constante igual a 1.
  • O denominador é x^{2}-y^{2}, que pode ser zero para certos pares (x,y); onde for zero a função não está definida.

Passo 2

Entendendo o domínio: uma função racional como \dfrac{1}{\text{den}} está definida sempre que o denominador \text{den} for diferente de zero. Aqui o denominador é x^{2}-y^{2}. Portanto a condição para (x,y) estar no domínio é
x^{2}-y^{2}\neq 0.
Vou explicar o que isso significa em termos geométricos e algébricos.

Passo 3

Análise algébrica do lugar onde o denominador é zero. Podemos fatorar a diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Essa expressão é zero exatamente quando x-y=0 ou x+y=0, isto é, quando y=x ou y=-x. Logo os pontos que anulam o denominador são todas as duplas (x,y) com y=\pm x (duas retas passando pela origem).

Passo 4

Concluindo o domínio: a função está definida em todos os pontos do plano exceto nas duas retas y=x e y=-x. Em notação de conjuntos:
\operatorname{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}=\mathbb{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=\pm x\}.
Interpretação intuitiva: pode-se escolher qualquer par (x,y) desde que x não seja igual a \pm y.

Passo 5

Agora a imagem. Seja c\in\mathbb{R} um valor candidato a pertencer à imagem; queremos ver para quais c existe algum (x,y) no domínio tal que
\frac{1}{x^{2}-y^{2}}=c.
Resolvo essa equação em termos de x^{2}-y^{2}:
x^{2}-y^{2}=\frac{1}{c},
desde que c\neq 0 (pois 1/c só faz sentido para c\neq 0). Se c=0, a equação seria 1=0, impossível; portanto c=0 não pode estar na imagem.

Passo 6

Provar que todo c\neq 0 é realmente atingido por f. Tomemos dois casos:
  • Caso c>0. Então \dfrac{1}{c}>0. Basta escolher y=0 e x=\sqrt{1/c}. Esses valores são reais e satisfazem
x^{2}-y^{2}=\left(\sqrt{\frac{1}{c}}\right)^{2}-0=\frac{1}{c},
logo \dfrac{1}{x^{2}-y^{2}}=c. Além disso \sqrt{1/c}\neq 0, então o ponto está no domínio.
  • Caso c<0. Então \dfrac{1}{c}<0. Escreva \dfrac{1}{c}=-\dfrac{1}{|c|}. Basta escolher x=0 e y=\sqrt{\dfrac{1}{|c|}}=\sqrt{-\dfrac{1}{c}}. Assim
x^{2}-y^{2}=0-\left(\sqrt{-\frac{1}{c}}\right)^{2}=-\frac{1}{c}=\frac{1}{c},
o que novamente dá \dfrac{1}{x^{2}-y^{2}}=c. E y\neq 0, então o denominador não é zero.
Dessa forma, para qualquer c\neq 0 construímos explicitamente um ponto (x,y) no domínio tal que f(x,y)=c.

Passo 7

Conclusão sobre a imagem: como c=0 não é possível e todo c\neq 0 é atingido, a imagem de f é o conjunto de todos os números reais exceto zero. Em notação:
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}=\mathbb{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=\pm x\}
Imagem: \mathbb{R}\setminus\{0\}

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