Calcule o valor de
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular o gradiente
da função composta .
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
-
. -
. -
, ou seja e . -
. -
, ou seja e .
Passo 2
Regra de cadeia para gradiente (explicação didática):
- Se
, o gradiente de em qualquer ponto é dada pela combinação linear das derivadas parciais de com os gradientes de e :
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial em relação a . Em componentes isso significa
avaliados no ponto de interesse. Essa fórmula vem de aplicar a regra da cadeia às derivadas parciais: por exemplo
.
Passo 3
Calcular
e
simbolicamente para
(passo a passo):
- Dentro do
temos a função composta . - Derivada de
é aplicada ao argumento, então por regra da cadeia,
- Como
(trata como constante ao derivar em relação a ), obtemos
- De forma análoga,
Passo 4
Avaliar
e
no ponto
:
- Primeiro calcule o argumento
nesse ponto:
- Calcular
. - Agora
em :
(Observe:
.)
- E
em :
Passo 5
Usar a fórmula do Passo 2 com os valores numéricos:
- Temos
e . - Portanto, em componentes,
- Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Simplificar as expressões aritméticas (passo a passo):
- Para
:
- Para
:
- Assim o gradiente é