Calcule o valor de \nabla g(0,0)\
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)), f(u, v)=\operatorname{sen}\left(u^{2} v\right)
u(0,0)=\frac{1}{2}, \nabla u(0,0)=\frac{1}{\pi}(2,1)
v(0,0)=\pi, \quad \nabla v(0,0)=(1,2)

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o gradiente \nabla g(0,0) da função composta g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • f(u,v)=\sin\!\big(u^{2}v\big).
  • u(0,0)=\dfrac{1}{2}.
  • \nabla u(0,0)=\dfrac{1}{\pi}(2,1), ou seja u_x(0,0)=\dfrac{2}{\pi} e u_y(0,0)=\dfrac{1}{\pi}.
  • v(0,0)=\pi.
  • \nabla v(0,0)=(1,2), ou seja v_x(0,0)=1 e v_y(0,0)=2.

Passo 2

Regra de cadeia para gradiente (explicação didática):
  • Se g(x,y)=f\big(u(x,y),v(x,y)\big), o gradiente de g em qualquer ponto é dada pela combinação linear das derivadas parciais de f com os gradientes de u e v:
\nabla g(x,y)=f_{u}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\,\nabla u(x,y)+f_{v}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\,\nabla v(x,y).
  • Aqui f_{u} é a derivada parcial de f em relação a u e f_{v} a derivada parcial em relação a v. Em componentes isso significa
g_x = f_u\,u_x + f_v\,v_x,\qquad g_y = f_u\,u_y + f_v\,v_y,
avaliados no ponto de interesse. Essa fórmula vem de aplicar a regra da cadeia às derivadas parciais: por exemplo g_x = \dfrac{\partial f}{\partial u}u_x + \dfrac{\partial f}{\partial v}v_x.

Passo 3

Calcular f_u e f_v simbolicamente para f(u,v)=\sin(u^{2}v) (passo a passo):
  • Dentro do \sin temos a função composta h(u,v)=u^{2}v.
  • Derivada de \sin é \cos aplicada ao argumento, então por regra da cadeia,
f_u(u,v)=\cos\!\big(u^{2}v\big)\cdot\frac{\partial}{\partial u}\big(u^{2}v\big).
  • Como \dfrac{\partial}{\partial u}\big(u^{2}v\big)=2u\cdot v (trata v como constante ao derivar em relação a u), obtemos
f_u(u,v)=\cos\!\big(u^{2}v\big)\cdot 2u v.
  • De forma análoga,
f_v(u,v)=\cos\!\big(u^{2}v\big)\cdot\frac{\partial}{\partial v}\big(u^{2}v\big)=\cos\!\big(u^{2}v\big)\cdot u^{2}.

Passo 4

Avaliar f_u e f_v no ponto (u,v)=(u(0,0),v(0,0))=\big(\tfrac{1}{2},\pi\big):
  • Primeiro calcule o argumento u^{2}v nesse ponto:
u^{2}v=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\cdot\pi=\tfrac{1}{4}\pi=\tfrac{\pi}{4}.
  • Calcular \cos\!\big(u^{2}v\big)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Agora f_u em (\tfrac{1}{2},\pi):
f_u\Big(\tfrac{1}{2},\pi\Big)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\cdot 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot\pi =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\pi =\frac{\pi\sqrt{2}}{2}.
(Observe: 2u v = 2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\pi=\pi.)
  • E f_v em (\tfrac{1}{2},\pi):
f_v\Big(\tfrac{1}{2},\pi\Big)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{\sqrt{2}}{8}.

Passo 5

Usar a fórmula do Passo 2 com os valores numéricos:
  • Temos \nabla u(0,0)=\left(\dfrac{2}{\pi},\dfrac{1}{\pi}\right) e \nabla v(0,0)=(1,2).
  • Portanto, em componentes,
g_x(0,0)=f_u\Big(\tfrac{1}{2},\pi\Big)\cdot u_x(0,0)+f_v\Big(\tfrac{1}{2},\pi\Big)\cdot v_x(0,0),
g_y(0,0)=f_u\Big(\tfrac{1}{2},\pi\Big)\cdot u_y(0,0)+f_v\Big(\tfrac{1}{2},\pi\Big)\cdot v_y(0,0).
  • Substituindo os valores encontrados:
g_x(0,0)=\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\pi}+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 1,
g_y(0,0)=\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\pi}+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2.

Passo 6

Simplificar as expressões aritméticas (passo a passo):
  • Para g_x(0,0):
\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\pi}=\sqrt{2}, \qquad \text{então}\quad g_x(0,0)=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{8\sqrt{2}+\sqrt{2}}{8}=\frac{9\sqrt{2}}{8}.ã
  • Para g_y(0,0):
\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2=\frac{\sqrt{2}}{4},
\text{então}\quad g_y(0,0)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.ã
  • Assim o gradiente é
\nabla g(0,0)=\left(\frac{9\sqrt{2}}{8},\frac{3\sqrt{2}}{4}\right).

Resposta

\displaystyle \nabla g(0,0)=\left(\frac{9\sqrt{2}}{8},\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)

Exercícios relacionados