Calcule o limite ou determine se não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{5}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Precisa-se determinar se o limite existe e, se existir, calcular o valor.

Passo 2

Primeira ideia: verificar comportamento em termos da distância ao origem. Uma forma muito útil para expressar isso é usar coordenadas polares. Vou explicar direitinho como funciona essa mudança.
Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a dizer r\to 0^+ (o ângulo \theta pode variar).

Passo 3

Substituindo x e y em coordenadas polares, calculamos numerador e denominador separadamente:
  • Numerador: y^{5} = (r\sin\theta)^{5} = r^{5}\sin^{5}\theta.
  • Denominador: (x^{2}+y^{2})^{2} = (r^{2})^{2} = r^{4}.
Portanto a expressão vira
\frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{r^{5}\sin^{5}\theta}{r^{4}} = r\,\sin^{5}\theta.

Passo 4

Agora vamos estimar o valor absoluto da função para aplicar o teorema do aperto (squeeze theorem). Temos
\left|\frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right| = |r\,\sin^{5}\theta| = r\,|\sin^{5}\theta|.
Como |\sin\theta|\le 1 para todo \theta, segue que |\sin^{5}\theta|\le 1. Logo
\left|\frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right| \le r.

Passo 5

Quando (x,y)\to(0,0) temos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0. Pelo passo anterior, o módulo da função fica preso entre -r e r, isto é
-\;r \le \frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \le r.
Como r\to 0, pelo teorema do aperto a função também tende a 0. Isso dá a conclusão do limite.

Passo 6

Para ganhar confiança: testar caminhos simples dá o mesmo resultado. Por exemplo, se y=0 a expressão vale 0. Se y= kx (reta passando pela origem), então
\frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{(kx)^{5}}{(x^{2}+k^{2}x^{2})^{2}}=\frac{k^{5}x^{5}}{(1+k^{2})^{2}x^{4}}=\frac{k^{5}}{(1+k^{2})^{2}}x\to 0
quando x\to 0. Esses exemplos corroboram que o limite é 0 independentemente do caminho.

Resposta

0

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