A função é f(x,y)=\dfrac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
O ponto de interesse é (0,0).
Precisa-se determinar se o limite existe e, se existir, calcular o valor.
Passo 2
Primeira ideia: verificar comportamento em termos da distância ao origem. Uma forma muito útil para expressar isso é usar coordenadas polares. Vou explicar direitinho como funciona essa mudança.
Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a dizer r\to 0^+ (o ângulo \theta pode variar).
Passo 3
Substituindo x e y em coordenadas polares, calculamos numerador e denominador separadamente:
Como |\sin\theta|\le 1 para todo \theta, segue que |\sin^{5}\theta|\le 1. Logo
\left|\frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right| \le r.
Passo 5
Quando (x,y)\to(0,0) temos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0. Pelo passo anterior, o módulo da função fica preso entre -r e r, isto é
-\;r \le \frac{y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \le r.
Como r\to 0, pelo teorema do aperto a função também tende a 0. Isso dá a conclusão do limite.
Passo 6
Para ganhar confiança: testar caminhos simples dá o mesmo resultado. Por exemplo, se y=0 a expressão vale 0. Se y= kx (reta passando pela origem), então