Calcule o valor de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede: calcular
. - A função composta é
. - A função
é dada por - Valores e gradientes fornecidos no ponto
: -
, -
, isto é, e . -
, -
, isto é, e .
-
Passo 2
Entendendo o que é pedido e a regra que vamos usar (explicação didática).
- A definição de gradiente:
, onde e são as derivadas parciais de em relação a e . - Para uma composição
vale a regra da cadeia para derivadas parciais: onde e são as derivadas parciais de em relação a e , avaliadas no par . - Então o plano é: (1) calcular
e simbolicamente; (2) avaliar em ; (3) aplicar a fórmula acima com as componentes de e .
Passo 3
Calcular
e
usando a regra do quociente (explicação da regra aplicada aqui).
Temos
com
e
.
A regra do quociente diz que, derivando em relação a ,
A regra do quociente diz que, derivando em relação a
- Calcule
. - Calcule
.
Substituindo:
Agora simplificar passo a passo:
Portanto
Agora calcule
de forma análoga:
A regra do quociente em relação a dá
A regra do quociente em relação a
-
. -
.
Substituindo e simplificando:
Passo 4
Avaliar
e
no ponto
,
(mostrando os cálculos).
- Primeiro o denominador comum:
- Agora
- E
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
e
, substituindo as componentes de
e
.
Lembrando:
-
. -
. -
.
Calcule
:
Agora simplificar:
logo
Calcule
:
Simplificando:
logo
Passo 6
Interpretação rápida e encerramento (um empurrãozinho motivacional).
- Observação: os dois componentes ficaram iguais aqui:
. Isso aconteceu por coincidência dos números dados. - Pronto — conseguimos aplicar a regra da cadeia passo a passo: derivamos
, avaliamos em no ponto, e combinamos com as derivadas de e .