Calcule o valor de \nabla g(0,0)\
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)), f(u, v)=\frac{u v}{u+v-1}\
u(0,0)=3, \nabla u(0,0)=(2,4)
v(0,0)=4, \quad \nabla v(0,0)=(6,2)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede: calcular \nabla g(0,0).
  • A função composta é g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).
  • A função f é dada por f(u,v)=\frac{u v}{u+v-1}.
  • Valores e gradientes fornecidos no ponto (0,0):
    • u(0,0)=3,
    • \nabla u(0,0)=(2,4), isto é, u_x(0,0)=2 e u_y(0,0)=4.
    • v(0,0)=4,
    • \nabla v(0,0)=(6,2), isto é, v_x(0,0)=6 e v_y(0,0)=2.

Passo 2

Entendendo o que é pedido e a regra que vamos usar (explicação didática).
  • A definição de gradiente: \nabla g(0,0) = \bigl(g_x(0,0),\,g_y(0,0)\bigr), onde g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y.
  • Para uma composição g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) vale a regra da cadeia para derivadas parciais: g_x = f_u(u,v)\,u_x + f_v(u,v)\,v_x, \qquad g_y = f_u(u,v)\,u_y + f_v(u,v)\,v_y,onde f_u e f_v são as derivadas parciais de f em relação a u e v, avaliadas no par (u(x,y),v(x,y)).
  • Então o plano é: (1) calcular f_u e f_v simbolicamente; (2) avaliar f_u,f_v em u=3,v=4; (3) aplicar a fórmula acima com as componentes de \nabla u e \nabla v.

Passo 3

Calcular f_u(u,v) e f_v(u,v) usando a regra do quociente (explicação da regra aplicada aqui).
Temos f(u,v)=\dfrac{N(u,v)}{D(u,v)} com N(u,v)=u v e D(u,v)=u+v-1.
A regra do quociente diz que, derivando em relação a u,
f_u=\frac{N_u D - N D_u}{D^2}.
  • Calcule N_u=\dfrac{\partial}{\partial u}(u v)=v.
  • Calcule D_u=\dfrac{\partial}{\partial u}(u+v-1)=1.
Substituindo:
f_u=\frac{v\,(u+v-1) - (u v)\cdot 1}{(u+v-1)^2}.
Agora simplificar passo a passo:
v(u+v-1)-uv = vu + v^2 - v - uv = v^2 - v = v(v-1).
Portanto
f_u(u,v)=\frac{v(v-1)}{(u+v-1)^2}.
Agora calcule f_v de forma análoga:
A regra do quociente em relação a v
f_v=\frac{N_v D - N D_v}{D^2}.
  • N_v=\dfrac{\partial}{\partial v}(u v)=u.
  • D_v=\dfrac{\partial}{\partial v}(u+v-1)=1.
Substituindo e simplificando:
f_v=\frac{u(u+v-1) - u v}{(u+v-1)^2} = \frac{u^2 - u}{(u+v-1)^2} = \frac{u(u-1)}{(u+v-1)^2}.

Passo 4

Avaliar f_u e f_v no ponto u(0,0)=3, v(0,0)=4 (mostrando os cálculos).
  • Primeiro o denominador comum: u+v-1 = 3+4-1 = 6,\qquad (u+v-1)^2 = 6^2 = 36.
  • Agora f_u(3,4)=\dfrac{v(v-1)}{36}=\dfrac{4\cdot 3}{36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}.
  • E f_v(3,4)=\dfrac{u(u-1)}{36}=\dfrac{3\cdot 2}{36}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter g_x(0,0) e g_y(0,0), substituindo as componentes de \nabla u e \nabla v.
Lembrando:
  • u_x(0,0)=2,\; u_y(0,0)=4.
  • v_x(0,0)=6,\; v_y(0,0)=2.
  • f_u(3,4)=\tfrac{1}{3},\; f_v(3,4)=\tfrac{1}{6}.
Calcule g_x(0,0):
g_x(0,0)=f_u(3,4)\,u_x(0,0) + f_v(3,4)\,v_x(0,0) = \tfrac{1}{3}\cdot 2 + \tfrac{1}{6}\cdot 6.
Agora simplificar:
\tfrac{1}{3}\cdot 2 = \tfrac{2}{3},\qquad \tfrac{1}{6}\cdot 6 = 1,
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g_x(0,0)=\tfrac{2}{3}+1=\tfrac{5}{3}.
Calcule g_y(0,0):
g_y(0,0)=f_u(3,4)\,u_y(0,0) + f_v(3,4)\,v_y(0,0) = \tfrac{1}{3}\cdot 4 + \tfrac{1}{6}\cdot 2.
Simplificando:
\tfrac{1}{3}\cdot 4 = \tfrac{4}{3},\qquad \tfrac{1}{6}\cdot 2 = \tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3},
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g_y(0,0)=\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{3}.

Passo 6

Interpretação rápida e encerramento (um empurrãozinho motivacional).
  • Observação: os dois componentes ficaram iguais aqui: g_x(0,0)=g_y(0,0)=\tfrac{5}{3}. Isso aconteceu por coincidência dos números dados.
  • Pronto — conseguimos aplicar a regra da cadeia passo a passo: derivamos f, avaliamos em (u,v) no ponto, e combinamos com as derivadas de u e v.

Resposta

\nabla g(0,0)=\bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3}\bigr)

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