Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t). Utilize a seguinte fórmula k(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)| para encontrar a curvatura.
r(t)=lang<= t^2, sen t-t cos t, cos t+t sen trang<=, t>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e, usando a fórmula k(t)=|T'(t)||r'(t)|, calcular a curvatura de
r(t)=llang<= t^2,,sin t - tcos t,,cos t + tsin trrang<=, t>0
Vamos usar as definições de derivada, norma de vetor, vetor tangente unitário, derivada de T(t) e vetor normal unitário.

Passo 2

Derivamos r(t) componente a componente:
r'(t)=llang<= 2t,;cos t - (cos t - tsin t),;-sin t + (sin t + tcos t)rrang<= =llang<= 2t,;tsin t,;tcos trrang<=
Em seguida calculamos sua norma:
|r'(t)|=raiz(2t)^2+(tsin t)^2+(tcos t)^2=raiz4t^2+t^2(sin^2t+cos^2t)=traiz5

Passo 3

Agora o vetor tangente unitário é
T(t)=r'(t)|r'(t)|= rac1traiz5llang<= 2t,;tsin t,;tcos trrang<==llang<= tfrac2raiz5,;tfracsin traiz5,;tfraccos traiz5rrang<=

Passo 4

Derivamos T(t):
T'(t)=llang<= 0,;tfracddt(tfracsin traiz5),;tfracddt(tfraccos traiz5)rrang<==llang<= 0,;tfraccos traiz5,;-tfracsin traiz5rrang<=
Sua norma é
|T'(t)|=raiz0^2+l(tfraccos traiz5r)^2+l(-tfracsin traiz5r)^2=raiztfraccos^2t+sin^2t5=1raiz5

Passo 5

Finalmente, o vetor normal unitário é
N(t)=T'(t)|T'(t)|=igllang<= 0,;cos t,;-sin trrang<= 
e a curvatura é
k(t)=|T'(t)||r'(t)|=1/raiz5traiz5=15t

Resposta

T(t)=llang<= tfrac2raiz5,;tfracsin traiz5,;tfraccos traiz5rrang<=, N(t)=llang<= 0,;cos t,;-sin trrang<=, k(t)=tfrac15t

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