Calcule o valor de
unitário na mesma direção e sentido que
, no ponto dado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de
na direção de um vetor unitário
que tem a mesma direção e sentido que o vetor
, no ponto
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente de
e o vetor unitário
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Para
, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Calculando cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário
na mesma direção de
. Para isso, vamos calcular o módulo de
e dividir cada componente por esse módulo:
Portanto, o vetor unitário
é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
pelo vetor
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A derivada parcial de
na direção de
no ponto dado é: