Calcule o valor de partial fpartial w com w unitário na mesma direção e sentido que u, no ponto dado
f(x, y, z)=x^2(1+2 y)z
(x0, y0, z0)=(1,2,5)
u=(raiz2, 1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de na direção de um vetor unitário que tem a mesma direção e sentido que o vetor , no ponto . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente de e o vetor unitário .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x(1 + 2y)z em relação às suas variáveis. Para partial fpartial y = 2x^2z , temos:
partial fpartial z = -x^2(1 + 2y)z^2
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a nabla f = ( 2x(1 + 2y)z, 2x^2z, -x^2(1 + 2y)z^2 ) :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 2, 5) = ( 2 cdot 1 (1 + 2 cdot 2)5, 2 cdot 1^25, -1^2(1 + 2 cdot 2)5^2 ) :
2 cdot 1 (1 + 4)5 = 2 cdot 55 = 2
Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
2 cdot 15 = 25
  1. Segunda componente:
-1 cdot 525 = -525 = -15
  1. Terceira componente:
nabla f(1, 2, 5) = ( 2, 25, -15 )
Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor unitário |u| = raiz (raiz2)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2 + 1 + 1 = raiz4 = 2 na mesma direção de w = ( raiz22, 12, 12 ) . Para isso, vamos calcular o módulo de e dividir cada componente por esse módulo:
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional de partial fpartial w = nabla f cdot w = 2 cdot raiz22 + 25 cdot 12 + (-15) cdot 12 na direção de 2 cdot raiz22 = raiz2 é dada pelo produto escalar do gradiente de 25 cdot 12 = 15 pelo vetor -15 cdot 12 = -110 :
raiz2 + 15 - 110 = raiz2 + 210 - 110 = raiz2 + 110
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial w = raiz2 + 110 na direção de no ponto dado é:

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