Obtenha o vetor v, sabendo que |v|=4, v é ortogonal ao eixo Oz , forma um ângulo de 60^circ com o vetor doti e um ângulo obtuso com o vetor j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente precisa encontrar o vetor v que tem módulo 4, é perpendicular ao eixo Oz, faz um ângulo de 60^circ com o vetor i e um ângulo obtuso com o vetor j. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como módulo de vetor, ângulos entre vetores e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, como v é ortogonal ao eixo Oz, isso significa que ela não tem componente na direção de z. Ou seja, a terceira coordenada do vetor v é zero. Assim, podemos escrever v como:
v = (vx, vy, 0)

Passo 3

Sabemos que o módulo de v é 4. O módulo de um vetor v = (vx, vy, vz) é calculado pela fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Como vz = 0, temos:
4 = raizvx^2 + vy^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
16 = vx^2 + vy^2

Passo 4

Agora, vamos usar o fato de que o ângulo entre v e i é de 60^circ. O produto escalar entre dois vetores é dado por:
v cdot i = |v| cdot |i| cdot cos(theta)
Como i = (1, 0, 0) e |i| = 1, temos:
vx = 4 cdot 1 cdot cos(60^circ) = 4 cdot 12 = 2
Portanto, vx = 2.

Passo 5

O ângulo entre v e j é obtuso, ou seja, maior que 90^circ. Sabemos que:
cos(theta) < 0 quando 90^circ < theta < 180^circ
Então, usando o produto escalar novamente:
v cdot j = vy = 4 cdot 1 cdot cos(theta) < 0
Isso significa que vy é negativo.

Passo 6

Voltando à equação do módulo:
16 = vx^2 + vy^2
Já sabemos que vx = 2, então:
16 = 4 + vy^2 vy^2 = 12 vy = pm raiz12 = pm 2raiz3
Como vy é negativo, temos:
vy = -2raiz3

Resposta

O vetor v é dado por:
v = 2,i - 2raiz3,j

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