Obtenha o vetor
, sabendo que
é ortogonal ao eixo Oz , forma um ângulo de
com o vetor
e um ângulo obtuso com o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente precisa encontrar o vetor
que tem módulo 4, é perpendicular ao eixo
, faz um ângulo de
com o vetor
e um ângulo obtuso com o vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como módulo de vetor, ângulos entre vetores e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, como
é ortogonal ao eixo
, isso significa que ela não tem componente na direção de
. Ou seja, a terceira coordenada do vetor
é zero. Assim, podemos escrever
como:
Passo 3
Sabemos que o módulo de
é 4. O módulo de um vetor
é calculado pela fórmula:
Como
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos usar o fato de que o ângulo entre
e
é de
. O produto escalar entre dois vetores é dado por:
Como
e
, temos:
Portanto,
.
Passo 5
O ângulo entre
e
é obtuso, ou seja, maior que
. Sabemos que:
Então, usando o produto escalar novamente:
Isso significa que
é negativo.
Passo 6
Voltando à equação do módulo:
Já sabemos que
, então:
Como
é negativo, temos:
Resposta
O vetor
é dado por: