1{ }^{\mathbf{a}} Questão)(2,5) Dada f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^{3}+y^{2}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Pedimos:
a) Encontre as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) para lodos os pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} ;
b) Encontre, caso existam, \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
c) Diga, justificando, em quais pontos \int é diferenciável e em quais pontos, eventualmente, f não é diferenciável.
O enunciado pede:
a) Encontrar expressões de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
b) Calcular, se existirem, \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
c) Dizer em quais pontos f é diferenciável e justificar.]
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar. Lembra: a derivada parcial em x vê y como constante; em y vê x como constante. Para uma razão de funções f=\dfrac{u}{v} (com v\neq0) a regra do quociente diz
Estas expressões valem em todo ponto onde (x,y)\neq(0,0), pois aí 2x^{2}+y^{2}>0.
Passo 6
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição de derivada parcial. Lembre: a derivada parcial em x em (0,0) é
Diferenciabilidade. Lembre: se f é diferenciável num ponto então é contínua nesse ponto e todas as derivadas parciais existentes devem coincidir com as componentes do diferencial linear. Primeiro observe que f não é contínua em (0,0): ao aproximar por x=0 (ou seja, por (0,y)) a função tende a 1, enquanto por y=0 tende a 0; portanto o limite (x,y)\to(0,0) não existe e f(0,0)=0 não coincide com um limite único. Logo f não é diferenciável em (0,0).
Para qualquer ponto (x,y)\neq(0,0) a função é quociente de polinômios com denominador 2x^{2}+y^{2}>0, logo é de classe C^{\infty} localmente ali — em particular é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0).