1{ }^{\mathbf{a}} Questão)(2,5) Dada f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^{3}+y^{2}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Pedimos:
a) Encontre as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) para lodos os pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} ;
b) Encontre, caso existam, \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
c) Diga, justificando, em quais pontos \int é diferenciável e em quais pontos, eventualmente, f não é diferenciável.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. A função é
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}+y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O enunciado pede:
a) Encontrar expressões de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
b) Calcular, se existirem, \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
c) Dizer em quais pontos f é diferenciável e justificar.]

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar. Lembra: a derivada parcial em x y como constante; em y x como constante. Para uma razão de funções f=\dfrac{u}{v} (com v\neq0) a regra do quociente diz
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right) =\frac{u_x\,v-u\,v_x}{v^{2}},
onde u_x é a derivada parcial de u em relação a x e v_x a de v. Vamos aplicar isso a
u(x,y)=x^{3}+y^{2},\qquad v(x,y)=2x^{2}+y^{2},
para (x,y)\neq(0,0) (aí v\neq0 exceto possivelmente em (0,0)).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
Calculemos as parciais de u e v:
u_x=3x^{2},\qquad v_x=4x.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{3x^{2}(2x^{2}+y^{2})-(x^{3}+y^{2})(4x)}{(2x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
3x^{2}(2x^{2}+y^{2})=6x^{4}+3x^{2}y^{2},
(x^{3}+y^{2})(4x)=4x^{4}+4x y^{2},
\text{numerador}=6x^{4}+3x^{2}y^{2}-4x^{4}-4x y^{2}=2x^{4}+3x^{2}y^{2}-4x y^{2}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x^{4}+3x^{2}y^{2}-4x y^{2}}{(2x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
Calculemos as parciais necessárias:
u_y=2y,\qquad v_y=2y.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{2y(2x^{2}+y^{2})-(x^{3}+y^{2})(2y)}{(2x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
2y(2x^{2}+y^{2})=4x^{2}y+2y^{3},
(x^{3}+y^{2})(2y)=2x^{3}y+2y^{3},
\text{numerador}=4x^{2}y+2y^{3}-2x^{3}y-2y^{3}=4x^{2}y-2x^{3}y.
Fatorando 2x^{2}y:
4x^{2}y-2x^{3}y=2x^{2}y(2-x).
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^{2}y(2-x)}{(2x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Resumo parcial (para (x,y)\neq(0,0)). Reescrevendo as duas derivadas parciais obtidas:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x^{4}+3x^{2}y^{2}-4x y^{2}}{(2x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^{2}y(2-x)}{(2x^{2}+y^{2})^{2}}.
Estas expressões valem em todo ponto onde (x,y)\neq(0,0), pois aí 2x^{2}+y^{2}>0.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição de derivada parcial. Lembre: a derivada parcial em x em (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
e em y
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.

Passo 7

Avaliação das diferenças ao longo dos eixos (usando a fórmula da função, substituímos y=0 ou x=0 na expressão para (x,y)\neq(0,0)).
Para y=0 e h\neq0,
f(h,0)=\frac{h^{3}+0}{2h^{2}+0}=\frac{h^{3}}{2h^{2}}=\frac{h}{2}.
Logo
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{(h/2)-0}{h}=\frac{1}{2},
e o limite quando h\to0 é \dfrac{1}{2}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{1}{2}.
Para x=0 e k\neq0,
f(0,k)=\frac{0+k^{2}}{0+k^{2}}=1.
Logo
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{1-0}{k}=\frac{1}{k},
que não tem limite quando k\to0 (tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda). Portanto a derivada parcial em y em (0,0) não existe:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe.}ã

Passo 8

Diferenciabilidade. Lembre: se f é diferenciável num ponto então é contínua nesse ponto e todas as derivadas parciais existentes devem coincidir com as componentes do diferencial linear. Primeiro observe que f não é contínua em (0,0): ao aproximar por x=0 (ou seja, por (0,y)) a função tende a 1, enquanto por y=0 tende a 0; portanto o limite (x,y)\to(0,0) não existe e f(0,0)=0 não coincide com um limite único. Logo f não é diferenciável em (0,0).
Para qualquer ponto (x,y)\neq(0,0) a função é quociente de polinômios com denominador 2x^{2}+y^{2}>0, logo é de classe C^{\infty} localmente ali — em particular é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Resposta

a) Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x^{4}+3x^{2}y^{2}-4x y^{2}}{(2x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^{2}y(2-x)}{(2x^{2}+y^{2})^{2}}.
b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{1}{2}. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) não existe.
c) f é diferenciável em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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