1. Calcule o valor da soma
S=50 \cdot 51+51 \cdot 52+\cdots+100 \cdot 101

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: calcular a soma
S = 50\cdot51 + 51\cdot52 + \cdots + 100\cdot101.
  • Informações relevantes que eu extraí do enunciado:
    • Cada termo tem a forma \,k(k+1)\, com k variando de 50 até 100.
    • Logo podemos escrever
    S=\sum_{k=50}^{100} k(k+1).

Passo 2

Transformar cada termo numa soma mais simples. Observação algébrica útil:
k(k+1)=k^2+k.
Então
S=\sum_{k=50}^{100}\bigl(k^2+k\bigr)=\sum_{k=50}^{100}k^2+\sum_{k=50}^{100}k.
Isto reduz o problema a calcular a soma de inteiros ao quadrado e a soma de inteiros em um intervalo.

Passo 3

Fórmula para a soma dos n primeiros inteiros e explicação rápida.
A fórmula é
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
O que significa: somar 1+2+\cdots+n. Uma maneira simples de ver é emparelhar termos: (1+n),(2+(n-1)),\dots — há n termos e cada par soma n+1; como formam n/2 pares (ou tratar o caso ímpar idem), chega-se em \dfrac{n(n+1)}{2}.
Vou usar essa fórmula para obter somas parciais do tipo \sum_{k=50}^{100}k através de diferenças:
\sum_{k=50}^{100}k=\sum_{k=1}^{100}k-\sum_{k=1}^{49}k.

Passo 4

Calcular \sum_{k=50}^{100}k passo a passo.
Primeiro
\sum_{k=1}^{100}k=\frac{100\cdot101}{2}.
Calculo detalhado:
100\cdot101=10100,\qquad \frac{10100}{2}=5050.
Então \sum_{k=1}^{100}k=5050.
Depois
\sum_{k=1}^{49}k=\frac{49\cdot50}{2}.
Calculo:
49\cdot50=2450,\qquad \frac{2450}{2}=1225.
Então \sum_{k=1}^{49}k=1225.
Portanto
\sum_{k=50}^{100}k=5050-1225=3825.

Passo 5

Fórmula para a soma dos quadrados e pequena verificação.
A fórmula é
\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Significado: soma 1^2+2^2+\cdots+n^2. Pode ser demonstrada por indução ou por identidades algébricas; uma checagem rápida: para n=3 \dfrac{3\cdot4\cdot7}{6}=14, que coincide com 1^2+2^2+3^2=14.
Vou usar novamente a diferença para obter \sum_{k=50}^{100}k^2:
\sum_{k=50}^{100}k^2=\sum_{k=1}^{100}k^2-\sum_{k=1}^{49}k^2.

Passo 6

Calcular \sum_{k=1}^{100}k^2 e \sum_{k=1}^{49}k^2 com detalhes.
Para n=100:
\sum_{k=1}^{100}k^2=\frac{100\cdot101\cdot201}{6}.
Calculo intermediário:
100\cdot101=10100,
10100\cdot201=10100\cdot(200+1)=10100\cdot200+10100=2\,020\,000+10\,100=2\,030\,100,
\frac{2\,030\,100}{6}=338\,350.
Logo \sum_{k=1}^{100}k^2=338\,350.
Para n=49:
\sum_{k=1}^{49}k^2=\frac{49\cdot50\cdot99}{6}.
Calculo intermediário:
49\cdot50=2450,
2450\cdot99=2450\cdot(100-1)=245\,000-2\,450=242\,550,
\frac{242\,550}{6}=40\,425.
Logo \sum_{k=1}^{49}k^2=40\,425.
Portanto
\sum_{k=50}^{100}k^2=338\,350-40\,425=297\,925.

Passo 7

Somar as duas parcelas que obtivemos.
Temos
\sum_{k=50}^{100}k^2=297\,925 \qquad\text{e}\qquad \sum_{k=50}^{100}k=3\,825.
Logo
S=\sum_{k=50}^{100}\bigl(k^2+k\bigr)=297\,925+3\,825.
Cálculo final:
297\,925+3\,825=301\,750.

Passo 8

Resumo final e incentivo: usamos a identidade k(k+1)=k^2+k e as fórmulas clássicas para somas de inteiros e de quadrados para reduzir a soma a duas somas bem conhecidas, depois subtraímos parciais e somamos os resultados. Beleza — já era! Você consegue aplicar o mesmo procedimento a qualquer soma do tipo \sum_{k=a}^{b}k(k+1).

Resposta

301750

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