- Calcule o valor da soma
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: calcular a soma
- Informações relevantes que eu extraí do enunciado:
- Cada termo tem a forma
com variando de até . - Logo podemos escrever
- Cada termo tem a forma
Passo 2
Transformar cada termo numa soma mais simples. Observação algébrica útil:
Então
Isto reduz o problema a calcular a soma de inteiros ao quadrado e a soma de inteiros em um intervalo.
Passo 3
Fórmula para a soma dos
primeiros inteiros e explicação rápida.
A fórmula é
O que significa: somar
. Uma maneira simples de ver é emparelhar termos:
— há
termos e cada par soma
; como formam
pares (ou tratar o caso ímpar idem), chega-se em
.
Vou usar essa fórmula para obter somas parciais do tipo
através de diferenças:
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Primeiro
Calculo detalhado:
Então
.
Depois
Calculo:
Então
.
Portanto
Passo 5
Fórmula para a soma dos quadrados e pequena verificação.
A fórmula é
Significado: soma
. Pode ser demonstrada por indução ou por identidades algébricas; uma checagem rápida: para
dá
, que coincide com
.
Vou usar novamente a diferença para obter
:
Passo 6
Calcular
e
com detalhes.
Para
:
Calculo intermediário:
Logo
.
Para
:
Calculo intermediário:
Logo
.
Portanto
Passo 7
Somar as duas parcelas que obtivemos.
Temos
Logo
Cálculo final:
Passo 8
Resumo final e incentivo: usamos a identidade
e as fórmulas clássicas para somas de inteiros e de quadrados para reduzir a soma a duas somas bem conhecidas, depois subtraímos parciais e somamos os resultados. Beleza — já era! Você consegue aplicar o mesmo procedimento a qualquer soma do tipo
.