Calcule o valor das seguintes expressões (Mostre os detalhes!):
\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}.
Informações dadas: todos os números são frações: \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} e \frac{2}{5}. A operação envolve soma de frações no numerador, divisão por uma fração e, por fim, subtração de outra fração.

Passo 2

Primeiro passo concreto: calcular a soma do numerador \frac{2}{3}+\frac{1}{2}.
Regra para somar frações: para somar \frac{a}{b}+\frac{c}{d} usamos um denominador comum, normalmente o mínimo múltiplo comum (MMC) de b e d. Aqui b=3 e d=2; o MMC de 3 e 2 é 6. Então convertemos cada fração para denominador 6:
\frac{2}{3} = \frac{2\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{4}{6}, \qquad \frac{1}{2} = \frac{1\cdot 3}{2\cdot 3} = \frac{3}{6}.

Passo 3

Somando as frações com mesmo denominador:
\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4+3}{6}=\frac{7}{6}.
Portanto o numerador simplificado é \frac{7}{6}.

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle\frac{\frac{7}{6}}{\frac{3}{2}}.
Regra para dividir frações: dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso (recíproco) dela. Ou seja,
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.
Aplicando aqui:
\frac{\frac{7}{6}}{\frac{3}{2}}=\frac{7}{6}\cdot\frac{2}{3}.

Passo 5

Fazendo a multiplicação e simplificando antes para facilitar:
Multiplicação direta:
\frac{7}{6}\cdot\frac{2}{3}=\frac{7\cdot 2}{6\cdot 3}=\frac{14}{18}.
Simplificando por 2:
\frac{14}{18}=\frac{7}{9}.
Também podemos simplificar cruzando fatores: 2 com 6 1 e 3, resultando em \frac{7}{9}. Então a parte antes da subtração é \frac{7}{9}.

Passo 6

Agora calculamos a subtração final \frac{7}{9}-\frac{2}{5}.
Regra para subtrair frações: usar denominador comum (MMC). O MMC de 9 e 5 é 45. Convertendo:
\frac{7}{9}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}=\frac{35}{45}, \qquad \frac{2}{5}=\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{18}{45}.
Subtraindo:
\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}.
Verificação de simplificação: 17 é número primo e não divide 45, logo \frac{17}{45} já está na forma irredutível.

Resposta

\frac{17}{45}

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