Calcule o valor das seguintes expressões (Mostre os detalhes!):
$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}-\frac{1}{6} ;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor da expressão
\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}-\frac{1}{6}.
Informações dadas: os três números fracionários \frac{2}{3}, \frac{3}{4} e \frac{1}{6}. A operação a realizar é primeiro a multiplicação entre \frac{2}{3} e \frac{3}{4} e depois a subtração do resultado por \frac{1}{6}.

Passo 2

Regra importante 1 — multiplicação de frações. Para multiplicar duas frações multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador:
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},
onde a,b,c,d são inteiros e b\neq0, d\neq0. Exemplo rápido: \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2\cdot3}{5\cdot4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10} (a última igualdade obtida simplificando dividindo numerador e denominador pelo mesmo número).

Passo 3

Aplico a regra à multiplicação que aparece no problema:
\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}.
Antes de multiplicar é prático cancelar fatores comuns entre numerador e denominador para evitar números maiores. Aqui há um 3 no numerador e um 3 no denominador, então cancelamos:
\frac{2\cdot \cancel{3}}{\cancel{3}\cdot 4}=\frac{2}{4}.
Agora simplifico \frac{2}{4} dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto a parte multiplicativa vale \frac{1}{2}.

Passo 4

Regra importante 2 — subtração de frações. Para subtrair duas frações é preciso escrevê-las com o mesmo denominador (denominador comum). Um denominador comum prático é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. No caso de \frac{1}{2} e \frac{1}{6} temos denominadores 2 e 6; o MMC é 6. Converto \frac{1}{2} para denominador 6:
\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{3}{6}.
Agora posso subtrair:
\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3-1}{6}=\frac{2}{6}.

Passo 5

Simplifico a fração \frac{2}{6}. Procuro o maior divisor comum (MDC) de 2 e 6, que é 2. Dividindo numerador e denominador por 2 obtenho:
\frac{2}{6}=\frac{2\div 2}{6\div 2}=\frac{1}{3}.
Então o valor final da expressão é \frac{1}{3}.

Resposta

\frac{1}{3}

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