Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
(a) integral0^1 x e^x d x
(c) integral0^pi x^3 cos (x^2) d x
(b) integral1^2 ln t d t
(d) integral0^x t^2 e^-s t d t, sendo s neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais definidas:
(a) integral0^1 x e^x,dx
(b) integral1^2 ln t,dt
(c) integral0^pi x^3cosl(x^2r),dx
(d) integral0^x t^2e^-s t,dt, com sneq0.
Vamos usar principalmente integração por partes e mudança de variável.

Passo 2

Para (a) aplicamos integração por partes com u=x e dv=e^xdx. Então du=dx e v=e^x, e
integral0^1 x e^x,dx =l[x e^xr]0^1 -integral0^1 e^x,dx
Calculando os termos:
l[x e^xr]0^1 =1cdot e^1-0cdot e^0=e,
integral0^1 e^x,dx =l[e^xr]0^1 =e-1
Logo
integral0^1 x e^x,dx =e-(e-1)=1

Passo 3

Para (b) usamos integração por partes com u=ln t e dv=dt. Então du=1tdt e v=t, e
integral1^2 ln t,dt =l[tln tr]1^2 -integral1^21,dt
Avaliando:
l[tln tr]1^2 =2ln2-1cdotln1=2ln2,
integral1^21,dt =2-1=1
Assim
integral1^2 ln t,dt =2ln2-1

Passo 4

Para (c) fizemos a substituição w=x^2, de modo que dw=2x,dx. Então
integral0^pi x^3cosl(x^2r),dx =12integral0^pi^2 wcos w,dw
Agora integramos por partes com u=w, dv=cos w,dw. Logo du=dw e v=sin w, de onde
integral0^pi^2 wcos w,dw =l[wsin wr]0^pi^2 -integral0^pi^2sin w,dw =pi^2sinl(pi^2r) +cosl(pi^2r)-1
Multiplicando por tfrac12 resulta
integral0^pi x^3cosl(x^2r),dx =12l[pi^2sinl(pi^2r) +cosl(pi^2r)-1r]

Passo 5

Para (d) primeiro achamos a primitiva
integral t^2e^-s t,dt
Fazendo duas integrações por partes repetidas, chega-se a
integral t^2e^-s t,dt =-e^-s tl(t^2s+2ts^2+2s^3r)+C
Logo a integral de 0 a x é
integral0^x t^2e^-s t,dt =l[-e^-s tl(tfract^2s+tfrac2ts^2+tfrac2s^3r)r]0^x =-e^-s xl(tfracx^2s+tfrac2xs^2+tfrac2s^3r)+2s^3

Resposta

(a) 1
(b) 2ln2-1
(c) tfrac12l[pi^2sin(pi^2)+cos(pi^2)-1r]
(d) 2s^3-e^-s xl(x^2s+2xs^2+2s^3r)

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