Determine m de forma que as retas (m+1) x+m y+1=0 e m x+(m+1) y+1=0 sejam paralelas. Faça o gráfico das retas resultantes.

Passo 1

O enunciado pede para determinar m de modo que as retas
(m+1)x + m,y + 1 = 0
e
m,x + (m+1)y + 1 = 0
sejam paralelas. Para isso, vamos lembrar que duas retas não-verticais são paralelas quando têm o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação).

Passo 2

Reescrevendo a primeira reta na forma y = ax + b, isolamos y:
m,y = -(m+1)x - 1
y = -m+1m,x ;-;1m
Portanto, o coeficiente angular da primeira reta é
a1 = -m+1m

Passo 3

Fazendo o mesmo para a segunda reta, isolamos y:
(m+1),y = -m,x - 1
y = -mm+1,x ;-;1m+1
O coeficiente angular da segunda reta é
a2 = -mm+1

Passo 4

Para que as retas sejam paralelas, basta igualar os coeficientes angulares:
-m+1m ;=; -mm+1
Eliminando o sinal “–” e fazendo o cruzamento de produtos, obtemos:
m+1m = mm+1 Longrightarrow (m+1)^2 = m^2 Longrightarrow m^2 + 2m +1 = m^2 Longrightarrow 2m + 1 = 0
Longrightarrow ;m = -tfrac12

Passo 5

Substituindo m = -tfrac12 nas equações originais, temos:
(m+1)x + m,y + 1 = tfrac12,x - tfrac12,y + 1 = 0 Longrightarrow x - y + 2 = 0 Longrightarrow y = x + 2,
m,x + (m+1)y + 1 = -tfrac12,x + tfrac12,y + 1 = 0 Longrightarrow -y + x - 2 = 0 Longrightarrow y = x - 2
As duas retas resultantes são
y = x + 2 e y = x - 2,
ambas com inclinação 1 e interceptos 2 e -2 no eixo y.

Passo 6

No gráfico, traçamos duas retas paralelas de coeficiente angular 1:
– A primeira passa pelos pontos (0,2) e (1,3).
– A segunda passa pelos pontos (0,-2) e (1,-1).

Resposta

m = -tfrac12

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