Determine o ponto da reta 2 x-3 y+6=0 equidistante dos pontos (0,-2) e (-4,0).

Passo 1

O enunciado pede o ponto (x,y) que pertence à reta
2x - 3y + 6 = 0
e que está à mesma distância de (0,-2) e de (-4,0). Para resolver, usaremos a definição de distância entre dois pontos no plano e depois intersectaremos essa condição com a equação da reta.

Passo 2

A condição de equidistância é
raiz(x-0)^2 + (y+2)^2 ;=;raiz(x+4)^2 + y^2
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos
x^2 + (y+2)^2 = (x+4)^2 + y^2
x^2 + y^2 + 4y + 4 = x^2 + 8x + 16 + y^2
4y + 4 = 8x + 16
y = 2x + 3

Passo 3

Agora intersectamos essa reta y = 2x + 3 com a reta dada. Substituindo em
2x - 3y + 6 = 0
temos
2x - 3(2x+3) + 6 = 0 ;Longrightarrow; -4x - 3 = 0 ;Longrightarrow; x = -tfrac34
Então
y = 2l(-tfrac34r) + 3 = -tfrac32 + 3 = tfrac32

Resposta

O ponto procurado é l(-tfrac34, tfrac32r).

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