Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
(d)
.
(d)
Passo 1
A gente precisa calcular a integral definida de 0 a π de x³·cos(x²) dx; o conteúdo principal aqui é integração por substituição (pra lidar com x² no cosseno) e depois, pra ∫u·cos(u) du, vamos usar integração por partes.
Passo 2
Vamos fazer a substituição u = x², então du = 2x dx. Note que x³ dx = x²·x dx = u·(du/2). Assim a integral vira
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Vamos integrar por partes, escolhendo
Aplicando a fórmula
, a gente obtém
Passo 4
Logo, voltando à variável x, a primitiva de x³ cos(x²) é
Passo 5
Basta agora aplicar os limites de 0 a π:
Calculando e simplificando: sin(0)=0 e cos(0)=1, então o resultado é
Resposta
\frac{\pi{2}\sin(\pi{2}) + \cos(\pi^{2}) - 1}{2}