Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
(d) integral0^pi x^3 cos (x^2) d x.

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida de 0 a π de x³·cos(x²) dx; o conteúdo principal aqui é integração por substituição (pra lidar com x² no cosseno) e depois, pra ∫u·cos(u) du, vamos usar integração por partes.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = x², então du = 2x dx. Note que x³ dx = x²·x dx = u·(du/2). Assim a integral vira
integral0^pi x^3 cos(x^2),dx = integralu(0)^u(pi) u cos(u) du2 = 12 integral0^pi^2 u cos(u),du

Passo 3

Agora precisamos calcular integral ucos(u),du. Vamos integrar por partes, escolhendo
A = u, dB = cos(u),du implies dA = du, B = sin(u)
Aplicando a fórmula integral A,dB = A B - integral B,dA, a gente obtém
integral ucos(u),du = usin(u) - integral sin(u),du = usin(u) + cos(u) + C

Passo 4

Logo, voltando à variável x, a primitiva de x³ cos(x²) é
F(x) = 12l[x^2sin(x^2) + cos(x^2)r] + C

Passo 5

Basta agora aplicar os limites de 0 a π:
integral0^pi x^3cos(x^2),dx = F(pi) - F(0) = 12l[pi^2sin(pi^2) + cos(pi^2)r] - 12l[0^2sin(0) + cos(0)r]
Calculando e simplificando: sin(0)=0 e cos(0)=1, então o resultado é
12l[pi^2sin(pi^2) + cos(pi^2) - 1r]

Resposta

\frac{\pi{2}\sin(\pi{2}) + \cos(\pi^{2}) - 1}{2}

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