Encontre o ponto pertencente à reta de interseção dos dois planos com equações: x+y+z=1 e x-y+2z=2; que se encontre mais próximo da origem;

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta de interseção dos planos x+y+z=1 e x-y+2z=2 que fica mais próximo da origem. Esse é um problema de geometria analítica envolvendo reta como interseção de planos e projeção ortogonal de um ponto numa reta.

Passo 2

As normais dos planos são n1=(1,1,1) e n2=(1,-1,2). O vetor diretor da reta de interseção é dado pelo produto vetorial n1timesn2. Temos:
v=n1timesn2=(1,1,1)times(1,-1,2)=(3,-1,-2)

Passo 3

Para obter um ponto qualquer Q na reta, resolvemos as equações dos planos simultaneamente. Por exemplo, ao escolher y=0 nas duas equações, temos:
x+0+z=1, x-0+2z=2
Daí x+z=1 e x+2z=2. Subtraindo a primeira da segunda vem z=1 e então x=0. Logo escolhemos Q=(0,0,1).

Passo 4

A forma paramétrica da reta é então
L(t)=Q+tv=(0,0,1)+t(3,-1,-2)

Passo 5

Para achar o ponto de L mais próximo da origem usamos projeção ortogonal. Se P=L(t) é o pé da perpendicular, o parâmetro ótimo é
t^*=-Qcdotvvcdotv

Passo 6

Calculamos Qcdotv=0cdot3+0cdot(-1)+1cdot(-2)=-2 e vcdotv=3^2+(-1)^2+(-2)^2=14. Portanto
$$
t^*=-\frac{-2}{14}=-\frac{1}{7}.$$

Passo 7

Substituindo em L(t) obtemos
P=Ll(-tfrac17r)=l(0,0,1r)+l(-tfrac17r)(3,-1,-2)=l(tfrac37,tfrac17,tfrac97r)

Resposta

l(tfrac37,-tfrac17,tfrac57r)

Exercícios relacionados