Encontre o ponto pertencente à reta de interseção dos dois planos com equações:
e
; que se encontre mais próximo da origem;
Passo 1
O enunciado pede o ponto da reta de interseção dos planos
e
que fica mais próximo da origem. Esse é um problema de geometria analítica envolvendo reta como interseção de planos e projeção ortogonal de um ponto numa reta.
Passo 2
As normais dos planos são
e
. O vetor diretor da reta de interseção é dado pelo produto vetorial
. Temos:
Passo 3
Para obter um ponto qualquer
na reta, resolvemos as equações dos planos simultaneamente. Por exemplo, ao escolher
nas duas equações, temos:
Daí
e
. Subtraindo a primeira da segunda vem
e então
. Logo escolhemos
.
Passo 4
A forma paramétrica da reta é então
Passo 5
Para achar o ponto de
mais próximo da origem usamos projeção ortogonal. Se
é o pé da perpendicular, o parâmetro ótimo é
Passo 6
Calculamos
e
. Portanto
$$
t^*=-\frac{-2}{14}=-\frac{1}{7}.$$
Passo 7
Substituindo em
obtemos