Dentre todas as caixas na forma de um paralelepípedo retângulo, fechadas (com tampa), determine as dimensões daquela que com:
(b) volume V fixado, possua área superficial A mínima;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as arestas x, y e z de uma caixa retangular fechada que, para volume fixo V, tenha área superficial A mínima. O conteúdo aqui é otimização com restrição de volume (usando multiplicadores de Lagrange ou AM–GM).

Passo 2

Escrevemos em função de x, y e z: a área superficial total é
A = 2(xy + xz + yz)
e o volume é
V = xyz

Passo 3

Para minimizar A sujeita a V fixo, montamos o Lagrangeano
L(x,y,z,lambda)=2(xy+xz+yz)-lambda(xyz-V)

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=2(y+z)-lambda yz=0,
partialLpartial y=2(x+z)-lambda xz=0,
partialLpartial z=2(x+y)-lambda xy=0

Passo 5

Das três equações vemos que por simetria y+z = x+z = x+y, o que implica x=y=z. Substituindo em xyz=V
x^3=VLongrightarrow x=y=z=V^1/3

Resposta

A caixa de área superficial mínima, dado volume fixo V, é um cubo de aresta V^1/3.

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