Dentre todas as caixas na forma de um paralelepípedo retângulo, fechadas (com tampa), determine as dimensões daquela que com:
(b) volume V fixado, possua área superficial A mínima;
(b) volume V fixado, possua área superficial A mínima;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as arestas x, y e z de uma caixa retangular fechada que, para volume fixo V, tenha área superficial A mínima. O conteúdo aqui é otimização com restrição de volume (usando multiplicadores de Lagrange ou AM–GM).
Passo 2
Escrevemos em função de x, y e z: a área superficial total é
e o volume é
Passo 3
Para minimizar A sujeita a V fixo, montamos o Lagrangeano
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 5
Das três equações vemos que por simetria y+z = x+z = x+y, o que implica x=y=z. Substituindo em
dá
Resposta
A caixa de área superficial mínima, dado volume fixo V, é um cubo de aresta
.