Calcule o valor das seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \int_{2 x}^{2}(x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{2x}^{2}(x - y)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é aplicação de integração dupla via iterada: primeiro integramos em y (limites de 2x a 2) e depois em x (de 0 a 1).

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{2x}^{2}(x - y)\,dy =\int_{2x}^{2}x\,dy\;-\;\int_{2x}^{2}y\,dy.
Como x é constante em relação a y,
\int_{2x}^{2}x\,dy =x\,[y]_{2x}^{2} =x(2 - 2x),
e
\int_{2x}^{2}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{2x}^{2} =\frac{2^{2}}{2}-\frac{(2x)^{2}}{2} =2-2x^{2}.
Subtraindo, obtemos
\int_{2x}^{2}(x - y)\,dy =x(2 - 2x)\;-\;(2 - 2x^{2}) =2x-2x^{2}-2+2x^{2} =2x-2.

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(2x-2)\,dx =2\int_{0}^{1}x\,dx \;-\;2\int_{0}^{1}1\,dx =2\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1}-2[x]_{0}^{1} =2\cdot\frac{1}{2}-2\cdot1 =1-2 =-1.

Resposta

-1

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