QUESTÃO 10. A produção de peças em uma indústria do setor automotivo varia periodicamente, durante os meses do ano, de janeiro ( \mathrm{t}=1 ) a dezembro ( \mathrm{t}=12 ), de acordo com a expressão matemática:
\mathrm{P}(\mathrm{t})=\operatorname{sen}\left[\left(\frac{\mathrm{t}-2}{2}\right) \pi\right]+5
onde \mathrm{P}(\mathrm{t}) é a produção em milhares de unidades. O analista de logística dessa indústria deseja descobrir o mês em que a produção foi máxima. Utilizando a expressão matemática, o analista de logística constatou que a produção desejada será no mês de
a) fevereiro
b) março
c) abril
d) maio
e) agosto

Passo 1

O enunciado dá a produção mensal em milhares de unidades pela função
\mathrm{P}(t) = \sin\!\bigl(\tfrac{t-2}{2}\,\pi\bigr) + 5,
onde t vai de 1 (janeiro) a 12 (dezembro). Queremos o mês em que \mathrm{P}(t) é máxima. Para isso, precisamos saber quando a parte \sin(\cdot) atinge o valor máximo 1.

Passo 2

A função \sin(x) atinge o valor máximo 1 exatamente quando
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,
com k\in\mathbb{Z}. No nosso caso, o argumento é \displaystyle x = \frac{t-2}{2}\,\pi. Logo, igualamos:
\frac{t-2}{2}\,\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi k.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por \pi e simplificando, temos
\frac{t-2}{2} = \frac12 + 2k \quad\Longrightarrow\quad t - 2 = 1 + 4k \quad\Longrightarrow\quad t = 3 + 4k.

Passo 4

Procuramos inteiros k tais que 1 \le t \le 12:
  • Para k=0, t=3.
  • Para k=1, t=7.
  • Para k=2, t=11.
    Valores fora desse intervalo não servem. Assim, os meses com produção máxima são t=3,7,11.

Passo 5

Mapeando t em meses:
\,t=3 é março, t=7 é julho e t=11 é novembro.
Das opções fornecidas, só “março” aparece.

Resposta

março

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