Se z=f(x, y), onde x=s+t e y=s-t, mostre que:
\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)^{2}-\left(\frac{\partial z}{\partial s}\right)^{2}=-4 \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}

Passo 1

O enunciado define z = f(x,y) com
x = s + t, \qquad y = s - t,
e pede para mostrar que
\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)^{2} -\left(\frac{\partial z}{\partial s}\right)^{2} =-4 \,\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial z}{\partial y}.
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia às derivadas parciais de z em relação a s e t.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para \frac{\partial z}{\partial t}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} = f_x\cdot 1 + f_y\cdot(-1) = f_x - f_y.

Passo 3

De modo análogo, para \frac{\partial z}{\partial s} temos
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} = f_x\cdot 1 + f_y\cdot 1 = f_x + f_y.

Passo 4

Agora calculamos a diferença dos quadrados:
(f_x - f_y)^2 - (f_x + f_y)^2 = \bigl(f_x^2 - 2f_xf_y + f_y^2\bigr) - \bigl(f_x^2 + 2f_xf_y + f_y^2\bigr) = -4\,f_xf_y.
Logo
\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)^{2} -\left(\frac{\partial z}{\partial s}\right)^{2} =-4\,f_x\,f_y =-4 \,\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial z}{\partial y}.

Resposta

\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)^{2} -\left(\frac{\partial z}{\partial s}\right)^{2} =-4 \,\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial z}{\partial y}.

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