Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)-1}{x^{2}+y^{2}} ;

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-1}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão depende apenas de x^{2}+y^{2}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0), onde o denominador se anula, por isso tratamos de limite (não de valor da função no ponto).
  • Não há outras condições; supomos que (x,y) aproxima-se de (0,0) por qualquer caminho.

Passo 2

Uma ideia natural é reduzir para uma variável: defina
u := x^{2}+y^{2}\ge 0.
Quando (x,y)\to(0,0) temos u\to 0^{+}. Portanto o limite em duas variáveis torna-se o limite unidimensional
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos(x^{2}+y^{2})-1}{x^{2}+y^{2}} = \lim_{u\to 0^{+}} \frac{\cos u -1}{u}.
Isso é válido porque a expressão original depende só de u; estudar o comportamento quando u\to0 resolve o problema.

Passo 3

Use uma identidade trigonométrica útil:
\cos u -1 = -2\sin^{2}\!\left(\frac{u}{2}\right).
Substituindo na expressão obtemos
\frac{\cos u -1}{u} = -2\,\frac{\sin^{2}\!\left(\frac{u}{2}\right)}{u}.
Vou trabalhar com o valor absoluto para aplicar uma desigualdade que nos dá um limite nítido.

Passo 4

Uma desigualdade clássica é |\sin t|\le |t| para todo t\in\mathbb{R}. Aplicando com t=\frac{u}{2} temos
\left|\sin\!\left(\frac{u}{2}\right)\right| \le \left|\frac{u}{2}\right|.
Elevando ao quadrado,
\sin^{2}\!\left(\frac{u}{2}\right) \le \left(\frac{u}{2}\right)^{2}.
Agora substituímos no módulo da nossa expressão:
\left|\frac{\cos u -1}{u}\right| = 2\,\frac{\sin^{2}\!\left(\frac{u}{2}\right)}{u} \le 2\,\frac{\left(\dfrac{u}{2}\right)^{2}}{u} = \frac{u}{2}.

Passo 5

Temos a estimativa
\left|\frac{\cos u -1}{u}\right| \le \frac{u}{2}.
Quando u\to 0^{+} o lado direito \dfrac{u}{2}\to 0. Pela desigualdade em módulo (ou pelo Teorema do Aperto / Squeeze), isso implica
\lim_{u\to 0^{+}} \frac{\cos u -1}{u} = 0.
Portanto, voltando à variável original,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-1}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 6

Comentário didático curto (dica de prova alternativa): você também poderia usar expansão em série de Taylor \cos u = 1 - \dfrac{u^{2}}{2}+o(u^{2}), daí \dfrac{\cos u -1}{u}\sim -\dfrac{u}{2}\to 0. Ambas as abordagens confirmam o mesmo resultado. Força aí — é um tipo de limite que aparece muito em provas e é bom memorizar a técnica da identidade \cos u-1=-2\sin^{2}(u/2) e a desigualdade |\sin t|\le|t|.

Resposta

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