Considere as funções
e
. Determine:
(a) a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
;
(b) o ponto no gráfico de
em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).
(a) a equação do plano tangente ao gráfico de
(b) o ponto no gráfico de
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede duas coisas distintas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
Dados:
-
. -
. - Um ponto no gráfico de
: . (Repare que , então esse ponto pertence ao gráfico de .)
Perguntas:
(a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
.
(b) Encontre o ponto no gráfico de em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido em (a).
(a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(b) Encontre o ponto no gráfico de
Passo 2
O que é plano tangente e qual fórmula vamos usar (aula rápida): para uma função
diferenciável, o plano tangente em
é dado pela fórmula
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
(ou seja, trate
como constante e derive em relação a
), e
é a derivada parcial em relação a
. Essas derivadas nos dão a inclinação do gráfico na direção de
e na direção de
, e combinadas definem o plano tangente. Vamos aplicar essa fórmula para
.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(mantendo
constante):
Derivando em relação a
(mantendo
constante):
Passo 4
Avalie
e suas parciais no ponto
(as coordenadas do ponto na projeção no plano
):
Agora aplique a fórmula do plano tangente:
Passo 5
Expresse o plano tangente explicitamente, desenvolvendo os termos:
Distribuindo:
Somando constantes:
Pronto: esse é o plano tangente pedido no item (a).
Passo 6
Agora o item (b): queremos o ponto no gráfico de
cujo plano tangente seja paralelo ao plano do item (a).
Primeiro, como verificar paralelismo entre dois planos? Dois planos dados por
e
são paralelos quando os vetores normais são paralelos. Um vetor normal a um plano
é
. Portanto, para que dois planos tangentes sejam paralelos, os pares
e
devem ser proporcionais de modo que os três componentes dos normais fiquem em proporção.
No nosso caso, o plano do item (a) tem coeficientes
e
, logo seu normal é
Passo 7
O plano tangente à superfície
em
tem coeficientes dados pelas parciais de
:
No ponto
esses valores são
e
. Assim o plano tangente a
em
pode ser escrito como
que reorganizado tem coeficientes diante de
e
iguais a
e
. O normal desse plano é
Para paralelismo devemos ter
proporcional a
. Ou seja existe
tal que
Passo 8
Resolva o sistema de proporção componente a componente. Da componente
temos
Com
, as primeiras duas componentes dão:
Passo 9
Agora calcule a coordenada
no gráfico de
em
:
Portanto o ponto no gráfico de
é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)