Considere as funções f(x, y)=2+x^{2}+y^{2} e g(x, y)=-x^{2}-y^{2}. Determine:
(a) a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1,2,7);
(b) o ponto no gráfico de z=g(x, y) em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede duas coisas distintas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
Dados:
  • f(x,y)=2+x^{2}+y^{2}.
  • g(x,y)=-x^{2}-y^{2}.
  • Um ponto no gráfico de f: (1,2,7). (Repare que f(1,2)=2+1+4=7, então esse ponto pertence ao gráfico de f.)
Perguntas:
(a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto (1,2,7).
(b) Encontre o ponto no gráfico de z=g(x,y) em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido em (a).

Passo 2

O que é plano tangente e qual fórmula vamos usar (aula rápida): para uma função z=h(x,y) diferenciável, o plano tangente em (a,b,h(a,b)) é dado pela fórmula
z = h(a,b) + h_x(a,b)\,(x-a) + h_y(a,b)\,(y-b).
Aqui h_x significa a derivada parcial de h em relação a x (ou seja, trate y como constante e derive em relação a x), e h_y é a derivada parcial em relação a y. Essas derivadas nos dão a inclinação do gráfico na direção de x e na direção de y, e combinadas definem o plano tangente. Vamos aplicar essa fórmula para f.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=2+x^{2}+y^{2}.
Derivando em relação a x (mantendo y constante):
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2+x^{2}+y^{2}\bigr) = 2x.
Derivando em relação a y (mantendo x constante):
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2+x^{2}+y^{2}\bigr) = 2y.

Passo 4

Avalie f e suas parciais no ponto (1,2) (as coordenadas do ponto na projeção no plano xy):
f(1,2)=7 \quad(\text{já dado}),á
f_x(1,2)=2\cdot 1 = 2,
f_y(1,2)=2\cdot 2 = 4.
Agora aplique a fórmula do plano tangente:
z = f(1,2) + f_x(1,2)\,(x-1) + f_y(1,2)\,(y-2).

Passo 5

Expresse o plano tangente explicitamente, desenvolvendo os termos:
z = 7 + 2(x-1) + 4(y-2).
Distribuindo:
z = 7 + 2x - 2 + 4y - 8.
Somando constantes:
z = 2x + 4y - 3.
Pronto: esse é o plano tangente pedido no item (a).

Passo 6

Agora o item (b): queremos o ponto no gráfico de g(x,y)=-x^{2}-y^{2} cujo plano tangente seja paralelo ao plano do item (a).
Primeiro, como verificar paralelismo entre dois planos? Dois planos dados por
z = A_1 x + B_1 y + C_1
e
z = A_2 x + B_2 y + C_2
são paralelos quando os vetores normais são paralelos. Um vetor normal a um plano z = A x + B y + C é (A,B,-1). Portanto, para que dois planos tangentes sejam paralelos, os pares (A_1,B_1) e (A_2,B_2) devem ser proporcionais de modo que os três componentes dos normais fiquem em proporção.
No nosso caso, o plano do item (a) tem coeficientes A_1=2 e B_1=4, logo seu normal é
n_1 = (2,4,-1).

Passo 7

O plano tangente à superfície z=g(x,y) em (a,b,g(a,b)) tem coeficientes dados pelas parciais de g:
g_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(-x^{2}-y^{2}) = -2x,
g_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(-x^{2}-y^{2}) = -2y.
No ponto (a,b) esses valores são -2a e -2b. Assim o plano tangente a g em (a,b) pode ser escrito como
z = g(a,b) + (-2a)(x-a) + (-2b)(y-b),
que reorganizado tem coeficientes diante de x e y iguais a -2a e -2b. O normal desse plano é
n_2 = (-2a,-2b,-1).
Para paralelismo devemos ter n_2 proporcional a n_1. Ou seja existe k tal que
(-2a,-2b,-1) = k(2,4,-1).

Passo 8

Resolva o sistema de proporção componente a componente. Da componente z temos
-1 = k(-1) \Rightarrow k = 1.
Com k=1, as primeiras duas componentes dão:
-2a = 1\cdot 2 \Rightarrow -2a = 2 \Rightarrow a = -1,
-2b = 1\cdot 4 \Rightarrow -2b = 4 \Rightarrow b = -2.

Passo 9

Agora calcule a coordenada z no gráfico de g em (a,b)=(-1,-2):
g(-1,-2) = -(-1)^{2} - (-2)^{2} = -1 - 4 = -5.
Portanto o ponto no gráfico de g é (-1,-2,-5).

Resposta

(a) z = 2x + 4y - 3
(b) (-1,-2,-5)

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