(2) Calcule o valor dos seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: é uma função racional (uma fração de polinômios) com numerador
e denominador
, e a variável
tende a
(ou seja, vai para valores negativos com módulo muito grande).
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): quando
vai para
, os termos de menor grau (como constantes ou
) ficam desprezíveis perante os termos de maior grau (como
). Para funções racionais onde numerador e denominador tem o mesmo grau, o comportamento para
é dominado pelos coeficientes dos termos de maior grau. Uma maneira algébrica de ver isso é dividir numerador e denominador pelo maior poder de
presente (aqui é
), ou fatorar
.
Passo 3
Fatoramos
em numerador e denominador (válido para
, e o limite considera
com módulo grande, então não há problema):
Como
nas proximidades do infinito, podemos simplificar cancelando
:
Passo 4
Agora analisamos o comportamento das frações
e
quando
. Para
com módulo muito grande temos
e
(os sinais podem ser negativos perto de
, mas ambos tendem ao valor numérico
). Portanto, tomando limite termo a termo:
Como o limite do quociente é o quociente dos limites (denominador tende a
), temos
Passo 5
Intuição extra e dica de prova: para qualquer função racional onde numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui ambos de grau
), o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
). Isso evita contas repetidas na prova: basta comparar os coeficientes líderes.