(2) Calcule o valor dos seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{3}-x^{2}+7 x-3}{2-x+5 x^{2}-4 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da função racional
\frac{2x^{3}-x^{2}+7x-3}{2-x+5x^{2}-4x^{3}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{3}-x^{2}+7x-3.
  • Denominador: 2-x+5x^{2}-4x^{3}.
  • Queremos \displaystyle \lim_{x\to\infty} dessa razão.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para limites de funções racionais quando x\to\infty, é usual dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{3}). Isso deixa a expressão em termos de potências negativas de x que tendem a zero, facilitando a identificação do limite. Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3}. Primeiro escrevo a fração colocando x^{3} em evidência em ambos os lados:
\frac{2x^{3}-x^{2}+7x-3}{2-x+5x^{2}-4x^{3}} = \frac{x^{3}\!\left(2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}\right)} {x^{3}\!\left(\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{5}{x}-4\right)}.

Passo 4

Simplifico cancelando x^{3} (válido para x\neq0, e estamos interessando em x\to\infty, então não há problema):
\frac{2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}}} {\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{5}{x}-4}.

Passo 5

Agora uso o fato básico sobre limites de termos do tipo \dfrac{1}{x^{k}} quando x\to\infty: para todo k>0,
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{k}} = 0.
Explicação curta: à medida que x cresce, x^{k} cresce sem limite, então a fração com numerador fixo 1 tende a zero.

Passo 6

Aplico esse fato a cada termo que contém \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{1}{x^{3}} na expressão do Passo 4. Portanto, ao tomar limite x\to\infty obtemos:
no numerador, 2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{3}} tende para 2-0+0-0 = 2;
no denominador, \dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{5}{x}-4 tende para 0-0+0-4 = -4.

Passo 7

Logo o limite da razão é o quociente desses limites (podemos fazer isso porque o denominador tende a número diferente de zero, aqui -4):
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}-x^{2}+7x-3}{2-x+5x^{2}-4x^{3}} = \frac{2}{-4}.

Passo 8

Simplifico a fração:
\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}.

Passo 9

Observação útil para a prova (resumindo): quando x\to\infty e temos uma função racional onde o grau do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos grau 3), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui coeficiente de x^{3} no numerador é 2 e no denominador é -4), dando 2/(-4) = -1/2. Isso evita cálculos desnecessários em muitos problemas.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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