(2) Calcule o valor dos seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a infinito da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos
dessa razão.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para limites de funções racionais quando
, é usual dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Isso deixa a expressão em termos de potências negativas de
que tendem a zero, facilitando a identificação do limite. Agora vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Primeiro escrevo a fração colocando
em evidência em ambos os lados:
Passo 4
Simplifico cancelando
(válido para
, e estamos interessando em
, então não há problema):
Passo 5
Agora uso o fato básico sobre limites de termos do tipo
quando
: para todo
,
Explicação curta: à medida que
cresce,
cresce sem limite, então a fração com numerador fixo
tende a zero.
Passo 6
Aplico esse fato a cada termo que contém
,
,
na expressão do Passo 4. Portanto, ao tomar limite
obtemos:
no numerador, tende para
;
no denominador, tende para
.
no numerador,
no denominador,
Passo 7
Logo o limite da razão é o quociente desses limites (podemos fazer isso porque o denominador tende a número diferente de zero, aqui
):
Passo 8
Simplifico a fração:
Passo 9
Observação útil para a prova (resumindo): quando
e temos uma função racional onde o grau do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos grau
), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui coeficiente de
no numerador é
e no denominador é
), dando
. Isso evita cálculos desnecessários em muitos problemas.