(8) Calcule, se existir, o valor de
, sendo a função
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede o valor, se existir, de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é definida de forma diferente à esquerda e à direita de
. - O ponto
pertence ao ramo (porque esse ramo vale para ), então o valor é conhecido a partir desse ramo. - Como a definição é por partes, é provável que os limites laterais (pela esquerda e pela direita) precisem ser examinados separadamente para decidir se o limite bilateral existe.]
Passo 2
Calculemos primeiro
, pois aparece no numerador da diferença.
Como o enunciado dá para
, temos
Como o enunciado dá
Então a expressão que precisamos estudar fica
Explicação rápida: substituir
é o primeiro passo natural porque simplifica a expressão e revela como tratar os dois lados (
e
).
Passo 3
Motivação do método: como a função é diferente para
e
, vamos calcular os limites laterais
Se esses dois limites laterais forem iguais, esse será o valor do limite bilateral; se forem diferentes, o limite bilateral não existe. Isso decorre da definição de limite: para o limite bilateral existir é preciso que a aproximação por ambos os lados dê o mesmo número.
Passo 4
Calcule o limite pela esquerda (
). Para
temos
. Então
Agora desenvolvemos o numerador usando fatoração da diferença de quadrados:
Cancelando o fator comum
(válido para
, e aqui estamos aproximando 1, não avaliando exatamente em 1), obtemos
Como
é uma função contínua, o limite quando
é só substituir
:
Comentário didático: fatorar diferenças de quadrados é uma ferramenta clássica para simplificar quotientes quando aparece
sobre
.
Passo 5
Calcule o limite pela direita (
). Para
(ou
na vizinhança direita) temos
. Então analisamos
Esse tipo de quociente com raiz beneficia-se da técnica de racionalização: multiplicamos numerador e denominador pela conjugada
para eliminar a raiz no numerador. Assim,
No numerador o produto é uma diferença de quadrados:
Portanto, para
,
Agora fazemos o limite substituindo
. Como a função
é contínua na vizinhança de
,
Comentário didático: racionalizar é ótimo para transformar uma expressão com raiz em uma forma que permita cancelamentos e substituição direta.
Passo 6
Compare os limites laterais obtidos:
Como
, os limites laterais são diferentes. Pela definição de limite bilateral, se as duas laterais não coincidem, o limite
não existe.
Comentário de incentivo: é comum em funções por partes encontrar esse tipo de descontinuidade no comportamento das derivadas/diferenças — você escolheu bem em checar os dois lados!
Resposta
O limite não existe.