(8) Calcule, se existir, o valor de \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}, sendo a função f dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x}, \quad \text { se } x \geq 1 \\\ x^{2}, \quad \text { se } x<1 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x},\quad \text{se }x\ge 1,\\[4pt] x^{2},\quad \text{se }x<1, \end{array}\right.
e pede o valor, se existir, de
\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é definida de forma diferente à esquerda e à direita de x=1.
  • O ponto x=1 pertence ao ramo \sqrt{x} (porque esse ramo vale para x\ge 1), então o valor f(1) é conhecido a partir desse ramo.
  • Como a definição é por partes, é provável que os limites laterais (pela esquerda e pela direita) precisem ser examinados separadamente para decidir se o limite bilateral existe.]

Passo 2

Calculemos primeiro f(1), pois aparece no numerador da diferença.
Como o enunciado dá f(x)=\sqrt{x} para x\ge 1, temos
f(1)=\sqrt{1}=1.
Então a expressão que precisamos estudar fica
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{f(x)-1}{x-1}.
Explicação rápida: substituir f(1) é o primeiro passo natural porque simplifica a expressão e revela como tratar os dois lados ( x<1 e x>1).

Passo 3

Motivação do método: como a função é diferente para x<1 e x\ge1, vamos calcular os limites laterais
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-1}{x-1}\quad\text{e}\quad\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-1}{x-1}.
Se esses dois limites laterais forem iguais, esse será o valor do limite bilateral; se forem diferentes, o limite bilateral não existe. Isso decorre da definição de limite: para o limite bilateral existir é preciso que a aproximação por ambos os lados dê o mesmo número.

Passo 4

Calcule o limite pela esquerda ( x\to1^-). Para x<1 temos f(x)=x^{2}. Então
\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Agora desenvolvemos o numerador usando fatoração da diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Cancelando o fator comum (x-1) (válido para x\neq1, e aqui estamos aproximando 1, não avaliando exatamente em 1), obtemos
\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1 \quad\text{para }x\neq1.
Como x+1 é uma função contínua, o limite quando x\to1^{-} é só substituir x=1:
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-1}{x-1}=\lim_{x\to1^-}(x+1)=1+1=2.
Comentário didático: fatorar diferenças de quadrados é uma ferramenta clássica para simplificar quotientes quando aparece (a^2-b^2) sobre (a-b).

Passo 5

Calcule o limite pela direita ( x\to1^+). Para x>1 (ou x\ge1 na vizinhança direita) temos f(x)=\sqrt{x}. Então analisamos
\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}.
Esse tipo de quociente com raiz beneficia-se da técnica de racionalização: multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x}+1 para eliminar a raiz no numerador. Assim,
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}.
No numerador o produto é uma diferença de quadrados:
(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=x-1.
Portanto, para x\neq1,
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}.
Agora fazemos o limite substituindo x\to1^{+}. Como a função \frac{1}{\sqrt{x}+1} é contínua na vizinhança de x=1,
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-1}{x-1}=\lim_{x\to1^+}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Comentário didático: racionalizar é ótimo para transformar uma expressão com raiz em uma forma que permita cancelamentos e substituição direta.

Passo 6

Compare os limites laterais obtidos:
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-1}{x-1}=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{2}.
Como 2\neq\frac{1}{2}, os limites laterais são diferentes. Pela definição de limite bilateral, se as duas laterais não coincidem, o limite \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe.
Comentário de incentivo: é comum em funções por partes encontrar esse tipo de descontinuidade no comportamento das derivadas/diferenças — você escolheu bem em checar os dois lados!

Resposta

O limite não existe.
\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2
\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\tfrac{1}{2}

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