(2) Calcule o valor dos seguintes limites:
( \zeta) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x+1}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x+1}{x+3}.
Informações dadas: é uma função racional (uma fração de polinômios) com numerador 2x+1 e denominador x+3, e a variável x tende a -\infty (ou seja, vai para valores negativos com módulo muito grande).

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando x vai para \pm\infty, os termos de menor grau (como constantes ou 1/x) ficam desprezíveis perante os termos de maior grau (como x). Para funções racionais onde numerador e denominador tem o mesmo grau, o comportamento para x\to\pm\infty é dominado pelos coeficientes dos termos de maior grau. Uma maneira algébrica de ver isso é dividir numerador e denominador pelo maior poder de x presente (aqui é x), ou fatorar x.

Passo 3

Fatoramos x em numerador e denominador (válido para x\neq0, e o limite considera x com módulo grande, então não há problema):
\frac{2x+1}{x+3}=\frac{x\bigl(2+\tfrac{1}{x}\bigr)}{x\bigl(1+\tfrac{3}{x}\bigr)}.
Como x\neq0 nas proximidades do infinito, podemos simplificar cancelando x:
\frac{2x+1}{x+3}=\frac{2+\tfrac{1}{x}}{1+\tfrac{3}{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento das frações \tfrac{1}{x} e \tfrac{3}{x} quando x\to -\infty. Para x com módulo muito grande temos \tfrac{1}{x}\to 0 e \tfrac{3}{x}\to 0 (os sinais podem ser negativos perto de -\infty, mas ambos tendem ao valor numérico 0). Portanto, tomando limite termo a termo:
\lim_{x\to -\infty}\left(2+\tfrac{1}{x}\right)=2,\qquad \lim_{x\to -\infty}\left(1+\tfrac{3}{x}\right)=1.
Como o limite do quociente é o quociente dos limites (denominador tende a 1\neq0), temos
\lim_{x\to -\infty}\frac{2+\tfrac{1}{x}}{1+\tfrac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.

Passo 5

Intuição extra e dica de prova: para qualquer função racional onde numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui ambos de grau 1), o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 2/1). Isso evita contas repetidas na prova: basta comparar os coeficientes líderes.

Resposta

2

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