Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
\log _{9} 9

Passo 1

O enunciado pede o valor de \log_{9} 9.
Informações dadas: a base do logaritmo é \;9\; e o argumento (o número cujo logaritmo estamos calculando) também é \;9\;.
Pergunta: qual número x satisfaz \log_{9} 9 = x?

Passo 2

Definição fundamental de logaritmo (a parte que você precisa decorar e entender):
A expressão \log_{a} b = x significa, por definição, que
a^{x} = b,
onde a>0, a\neq 1, e b>0.
Aqui a é a base, b é o argumento, e x é o valor do logaritmo — o expoente que você precisa colocar em a para obter b.

Passo 3

Aplique a definição ao nosso problema: seja x=\log_{9}9. Então, por definição,
9^{x}=9.
Observe que 9 pode ser escrito como 9^{1}. Portanto temos
9^{x}=9^{1}.
Como a função exponencial 9^{t} (com base 9>0 e diferente de 1) é injetora, os expoentes devem ser iguais. Logo
x=1.

Passo 4

Uma segunda forma de ver, útil para provas e para entender propriedades, é escrever 9 como potência de 3: 9=3^{2}. Então
\log_{9}9=\log_{3^{2}}3^{2}.
Há uma propriedade geral: se a>0, a\neq 1, então
\log_{a^{m}}a^{n}=\frac{n}{m},
porque, chamando esse logaritmo de y, temos (a^{m})^{y}=a^{n}\Rightarrow a^{my}=a^{n}\Rightarrow my=n\Rightarrow y=\dfrac{n}{m}.
Aplicando com m=2 e n=2
\log_{3^{2}}3^{2}=\frac{2}{2}=1,
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Resumo didático e dica para prova: sempre que o argumento for igual à base, como em \log_{a}a, o valor do logaritmo é \;1\; porque a^{1}=a. Isso vale para qualquer base válida a>0, a\neq 1. Mantenha essa propriedade na cabeça — é muito usada.

Resposta

1

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