Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede o valor de
.
Informações dadas: a base do logaritmo é e o argumento (o número cujo logaritmo estamos calculando) também é
.
Pergunta: qual número satisfaz
?
Informações dadas: a base do logaritmo é
Pergunta: qual número
Passo 2
Definição fundamental de logaritmo (a parte que você precisa decorar e entender):
A expressão significa, por definição, que
A expressão
onde
,
, e
.
Aqui é a base,
é o argumento, e
é o valor do logaritmo — o expoente que você precisa colocar em
para obter
.
Aqui
Passo 3
Aplique a definição ao nosso problema: seja
. Então, por definição,
Observe que
pode ser escrito como
. Portanto temos
Como a função exponencial
(com base
e diferente de
) é injetora, os expoentes devem ser iguais. Logo
Passo 4
Uma segunda forma de ver, útil para provas e para entender propriedades, é escrever
como potência de
:
. Então
Há uma propriedade geral: se
,
, então
porque, chamando esse logaritmo de
, temos
.
Aplicando com e
dá
Aplicando com
confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Resumo didático e dica para prova: sempre que o argumento for igual à base, como em
, o valor do logaritmo é
porque
. Isso vale para qualquer base válida
,
. Mantenha essa propriedade na cabeça — é muito usada.