Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
\log _{\sqrt{5}} 25

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do logaritmo \log_{\sqrt{5}}25.
Informações dadas: a base é \sqrt{5} e o argumento é 25.
Pergunta: qual é o número x tal que \log_{\sqrt{5}}25 = x?

Passo 2

Lembrando a definição básica de logaritmo: para a>0, a\neq1, e b>0,
\log_a b = x \quad\text{se, e somente se,}\quad a^x = b.
Aqui a é a base do logaritmo, b é o argumento, e x é o valor do logaritmo. Exemplo rápido: \log_{10}100=2 porque 10^2=100.

Passo 3

É conveniente escrever a base e o argumento como potências de um mesmo número. Observamos que \sqrt{5} e 25 são potências de 5:
\sqrt{5} = 5^{1/2}
e
25 = 5^2.
Isso facilita porque se a base e o argumento têm a mesma base numérica, dá para comparar os expoentes.

Passo 4

Defina x = \log_{\sqrt{5}}25. Pela definição do logaritmo, isso significa
\left(\sqrt{5}\right)^x = 25.
Substituindo as potências de 5 que encontramos no passo anterior:
\left(5^{1/2}\right)^x = 5^2.

Passo 5

Use a propriedade de potências \left(a^p\right)^q = a^{pq}. Aplicando aqui:
5^{(1/2)\,x} = 5^2.
Como as duas potências têm a mesma base 5 (que é maior que zero e diferente de 1), podemos igualar os expoentes:
\frac{x}{2} = 2.

Passo 6

Resolva a equação para x:
\frac{x}{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 2\cdot 2 = 4.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional): usando mudança de base,
\log_{\sqrt{5}}25 = \frac{\ln 25}{\ln \sqrt{5}} = \frac{\ln(5^2)}{\ln(5^{1/2})} = \frac{2\ln 5}{\tfrac{1}{2}\ln 5} = 4,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

4

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