Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
\log _{4} 32

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do logaritmo \log_{4} 32.
Informações dadas que vamos usar: o número base é 4 e o argumento é 32. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um logaritmo: \log_{a} b = x significa que a^{x}=b. Ou seja, estamos procurando o número x tal que
4^{x}=32.
Isso transforma o problema de logaritmo numa equação exponencial — é muitas vezes mais simples de resolver dessa forma.

Passo 3

Uma técnica prática é escrever tanto a base quanto o argumento como potências de um mesmo número primitivo. Aqui tanto 4 quanto 32 são potências de 2. Escrevemos:
4 = 2^{2} \qquad\text{e}\qquad 32 = 2^{5}.
Dica: se você não lembrar de cabeça, 2^{5}=32 porque 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32.

Passo 4

Substituímos essas potências na equação 4^{x}=32:
(2^{2})^{x} = 2^{5}.
Usamos a propriedade das potências (a^{m})^{n}=a^{mn} para simplificar o lado esquerdo:
2^{2x} = 2^{5}.

Passo 5

Como as potências têm a mesma base 2, podemos igualar os expoentes:
2x = 5.
Agora é só resolver para x:
x = \frac{5}{2}.

Passo 6

Interpretação e forma decimal: \frac{5}{2} é o mesmo que 2{,}5. Então os dois formatos corretos para o valor do logaritmo são \frac{5}{2} e 2{,}5. Se quiser usar uma outra técnica, dá para aplicar a fórmula de mudança de base:
\log_{4}32=\frac{\log 32}{\log 4}=\frac{5\log 2}{2\log 2}=\frac{5}{2},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{5}{2} (ou \,2{,}5)

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