Sabendo que \log 2=0,301, \log 3=0,477, \log 5=0,699 e \log 7=0,845 calcule:
\log 0,04

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log 0,04.
Estão dadas as seguintes informações (valores de logaritmos comuns, ou seja, base 10): \log 2 = 0,301, \log 3 = 0,477, \log 5 = 0,699 e \log 7 = 0,845.

Passo 2

Vamos lembrar (aula rápida e prática) duas propriedades fundamentais de logaritmos que usaremos:
  • Regra do produto: \log(ab)=\log a + \log b. Aqui a e b são números positivos; a propriedade diz que o log do produto é a soma dos logs.
  • Regra da potência: \log(a^{k}) = k\log a. Aqui k pode ser inteiro (ou real); o log de uma potência traz o expoente para multiplicar o log da base.
    Também usamos que \log(10)=1 e, portanto, \log(10^{k})=k para qualquer k.

Passo 3

Vamos reescrever 0,04 de uma forma que facilite aplicar as propriedades.
Primeiro, 0,04 = \dfrac{4}{100}. Como 100 = 10^{2}, temos:
0,04 = \dfrac{4}{10^{2}} = 4\cdot 10^{-2}.
Também podemos notar que 4 = 2^{2}, então uma forma ainda mais útil é:
0,04 = 2^{2}\cdot 10^{-2}.

Passo 4

Aplicando o logaritmo em ambos os lados e usando as propriedades:
\log 0,04 = \log\big(2^{2}\cdot 10^{-2}\big).
Pela regra do produto:
\log\big(2^{2}\cdot 10^{-2}\big) = \log(2^{2}) + \log(10^{-2}).
Pela regra da potência:
\log(2^{2}) = 2\log 2 \quad\text{e}\quad \log(10^{-2}) = -2.

Passo 5

Substituindo o valor dado \log 2 = 0,301 em \log(2^{2}):
\log(2^{2}) = 2\cdot 0,301 = 0,602.
Então
\log 0,04 = 0,602 + (-2) = 0,602 - 2 = -1,398.
Como checagem alternativa (opcional): escrevendo 0,04 = \dfrac{1}{25} = 5^{-2}, teríamos \log 0,04 = -2\log 5 = -2\cdot 0,699 = -1,398, mesmo resultado — ótima confirmação.

Resposta

-1,398

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