1. (FGV) O produto \left(\log _{9} 2\right) \cdot\left(\log _{2} 5\right) \cdot\left(\log _{5} 3\right) é igual a:
    a) 0
    b) \frac{1}{2}
    c) 10
    d) 30
    e) \frac{1}{10}

Passo 1

O enunciado pede o valor do produto
\left(\log_{9} 2\right)\cdot\left(\log_{2} 5\right)\cdot\left(\log_{5} 3\right).
As alternativas dadas são:
a) \,0
b) \,\frac{1}{2}
c) \,10
d) \,30
e) \,\frac{1}{10}

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades de logaritmos que serão úteis (vou explicar direitinho cada uma):
  1. A mudança de base: para bases positivas distintas a e b e argumento positivo x,
\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}.
Isto vem da definição: se \log_{a} x = y então a^{y}=x. Tomando logaritmo na base b em ambos os lados dá \log_{b} a^{y} = \log_{b} x, ou seja y\log_{b} a = \log_{b} x, então y = \dfrac{\log_{b} x}{\log_{b} a}.
  1. Logaritmo de potência da base: se a>0 e k\neq 0,
\log_{a^{k}} x = \frac{1}{k}\log_{a} x.
Isto é um caso particular da mudança de base: \log_{a^{k}} x = \dfrac{\log_{a} x}{\log_{a} a^{k}} = \dfrac{\log_{a} x}{k}.
Também usaremos a propriedade de “encadeamento” que é consequência da mudança de base:
\log_{p} q \cdot \log_{q} r = \log_{p} r,
porque usando a mudança de base \log_{p} q = \dfrac{\log r q}{\log r p} e simplifica, ou mais direto: \log_{p} q = \dfrac{\log_{r} q}{\log_{r} p} e multiplicando por \log_{q} r = \dfrac{\log_{r} r}{\log_{r} q} = \dfrac{1}{\log_{r} q} \log_{p} r. (O importante: esses produtos “telescopam”.)

Passo 3

Aplicando a propriedade 2 ao primeiro fator \log_{9}2, note que 9=3^{2}. Então
\log_{9}2 = \log_{3^{2}}2 = \frac{1}{2}\log_{3}2.
Substituindo isso no produto original obtemos
\left(\log_{9}2\right)\cdot\left(\log_{2}5\right)\cdot\left(\log_{5}3\right) = \frac{1}{2}\left(\log_{3}2\right)\cdot\left(\log_{2}5\right)\cdot\left(\log_{5}3\right).

Passo 4

Agora vamos olhar para o produto dentro dos parênteses:
\left(\log_{3}2\right)\cdot\left(\log_{2}5\right)\cdot\left(\log_{5}3\right).
Usando a propriedade de encadeamento em pares, primeiro multiplico \log_{3}2 por \log_{2}5:
\left(\log_{3}2\right)\cdot\left(\log_{2}5\right) = \log_{3}5.
Isso acontece porque os termos com base/intermediária 2 “se cancelam” pela mudança de base (é o telescópio que eu expliquei).

Passo 5

Continuando, multiplico o resultado por \log_{5}3:
\left(\log_{3}5\right)\cdot\left(\log_{5}3\right) = \log_{3}3.
Novamente é a mesma propriedade de encadeamento, agora com p=3, q=5, r=3. E \log_{3}3 = 1 porque 3^{1}=3.

Passo 6

Voltando ao Passo 3, temos então
\frac{1}{2}\left(\log_{3}2\right)\cdot\left(\log_{2}5\right)\cdot\left(\log_{5}3\right) = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.
Pronto — chegou no valor final.

Resposta

b) \frac{1}{2}

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