- (FGV) O produto
é igual a:
a) 0
b)
c) 10
d) 30
e)
a) 0
b)
c) 10
d) 30
e)
Passo 1
O enunciado pede o valor do produto
As alternativas dadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades de logaritmos que serão úteis (vou explicar direitinho cada uma):
- A mudança de base: para bases positivas distintas
e e argumento positivo ,
Isto vem da definição: se
então
. Tomando logaritmo na base
em ambos os lados dá
, ou seja
, então
.
- Logaritmo de potência da base: se
e ,
Isto é um caso particular da mudança de base:
.
Também usaremos a propriedade de “encadeamento” que é consequência da mudança de base:
porque usando a mudança de base
e simplifica, ou mais direto:
e multiplicando por
dá
. (O importante: esses produtos “telescopam”.)
Passo 3
Aplicando a propriedade 2 ao primeiro fator
, note que
. Então
Substituindo isso no produto original obtemos
Passo 4
Agora vamos olhar para o produto dentro dos parênteses:
Usando a propriedade de encadeamento em pares, primeiro multiplico
por
:
Isso acontece porque os termos com base/intermediária
“se cancelam” pela mudança de base (é o telescópio que eu expliquei).
Passo 5
Continuando, multiplico o resultado por
:
Novamente é a mesma propriedade de encadeamento, agora com
,
,
. E
porque
.
Passo 6
Voltando ao Passo 3, temos então
Pronto — chegou no valor final.
Resposta
b)