Calcule o valor da soma no caso ela convergir:
sumn=1^infty(12^n-2-23^n+2),

Passo 1

O enunciado pede para calcular, caso converja, a soma
sumn=1^inftyl(12^n-2-23^n+2r)
O conteúdo que vamos usar é o da soma de séries geométricas infinitas, cuja fórmula é, para |r|<1,
sumk=1^inftyr^k=r1-r

Passo 2

Separemos a soma em duas séries geométricas:
sumn=1^infty12^n-2 e sumn=1^infty23^n+2
Note que
12^n-2=4cdot12^n e 23^n+2=29cdot13^n

Passo 3

Calculemos a primeira série:
sumn=1^infty12^n-2 =4sumn=1^infty12^n =4cdottfrac121-tfrac12 =4cdot1 =4

Passo 4

Calculemos a segunda série:
sumn=1^infty23^n+2 =29sumn=1^infty13^n =29cdottfrac131-tfrac13 =29cdot12 =19

Passo 5

Subtraindo as duas parcelas, obtemos
sumn=1^inftyl(12^n-2-23^n+2r) =4-19 =369-19 =359

Resposta

359

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