Em um cilindro foram efetuadas medições com uma régua milimétrica e obteve-se os seguintes resultados:
\mathrm{r}(\mathrm{cm}) 1,84 1,75 1,86 1,78 1,80
\mathrm{~h}(\mathrm{~cm}) 6,88 7,04 6,96 7,10 6,94
a) Calcule o EE e o ES.
b) Escreva corretamente as medidas re h. c) Determine o volume do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular o EE (erro experimental) e o ES (erro sistemático) das medições.
  • (b) Escrever corretamente as medidas de r e h com suas incertezas.
  • (c) Determinar o volume do cilindro com sua incerteza.
Dados (peguei os números do enunciado):
  • Raio: r medido em cm: 1,84,\;1,75,\;1,86,\;1,78,\;1,80.
  • Altura: h medido em cm: 6,88,\;7,04,\;6,96,\;7,10,\;6,94.
  • Instrumento: régua milimétrica (menor divisão =1\\ \text{mm}=0,1\\ \text{cm}).
  • Número de medidas: n=5.

Passo 2

Definições e método (explicando devagar, como numa cola de prova).
  • Média aritmética (valor médio) de um conjunto de medidas \{x_i\} com n pontos é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a melhor estimativa do valor verdadeiro a partir das medidas.
  • Desvio-padrão amostral (medida da dispersão das medidas) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
  • Erro experimental da média (EE) é o desvio-padrão da média, também chamado de erro padrão:
\text{EE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicação: s mede quanto as medidas variam; dividir por \sqrt{n} mostra quanto incide essa variação na incerteza da média.
  • Erro sistemático do instrumento (ES): para uma régua, uma estimativa simples é metade da menor divisão (incerteza instrumental):
\text{ES}=\frac{\text{menor divisão}}{2}=\frac{0,1\\ \text{cm}}{2}=0,05\\ \text{cm}.ã
Isso vale tanto para r quanto para h.

Passo 3

Cálculo das médias.
  • Soma e média das medidas de r:
\sum r_i = 1,84+1,75+1,86+1,78+1,80 = 9,03,
\bar{r}=\frac{9,03}{5}=1,806\\ \text{cm}.
  • Soma e média das medidas de h:
\sum h_i = 6,88+7,04+6,96+7,10+6,94 = 34,92,
\bar{h}=\frac{34,92}{5}=6,984\\ \text{cm}.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão amostral s e do EE (erro padrão da média).
  • Para r: calculei as diferenças em relação à média, seus quadrados e a soma:
\sum (r_i-\bar r)^2 \approx 0,00792,
s_r=\sqrt{\frac{0,00792}{5-1}}=\sqrt{0,00198}\approx0,0445\\ \text{cm}.
\text{EE}_r=\frac{s_r}{\sqrt{5}}=\frac{0,0445}{\sqrt{5}}\approx0,0199\\ \text{cm}\approx0,020\\ \text{cm}.
  • Para h:
\sum (h_i-\bar h)^2 \approx 0,02992,
s_h=\sqrt{\frac{0,02992}{4}}=\sqrt{0,00748}\approx0,0865\\ \text{cm}.
\text{EE}_h=\frac{s_h}{\sqrt{5}}=\frac{0,0865}{\sqrt{5}}\approx0,0387\\ \text{cm}\approx0,039\\ \text{cm}.

Passo 5

Erro sistemático (instrumental) e combinação com o erro experimental.
  • Como dito, a incerteza instrumental é
\text{ES}=0,05\\ \text{cm},
para r e para h.
  • Para obter a incerteza total (assumindo erros independentes aleatório e sistemático), combinamos em quadratura:
u=\sqrt{\text{EE}^2+\text{ES}^2}.
  • Para r:
u_r=\sqrt{(0,0199)^2+(0,05)^2}\approx0,0538\\ \text{cm}.
  • Para h:
u_h=\sqrt{(0,0387)^2+(0,05)^2}\approx0,0632\\ \text{cm}.

Passo 6

Arredondamento e escrita correta das medidas (regra prática).
  • Convenção prática: a incerteza costuma ser apresentada com 1 algarismo significativo (às vezes 2 se o primeiro for 1 ou 2); aqui usamos 1 algarismo significativo:
u_r\approx0,05\\ \text{cm},\qquad u_h\approx0,06\\ \text{cm}.
  • Então ajustamos a média para a mesma casa decimal:
\bar r=1,806\\ \text{cm}\\ \to\\\ 1,81\\ \text{cm}, \qquad \bar h=6,984\\ \text{cm}\\ \to\\\ 6,98\\ \text{cm}.
Portanto as medidas escritas corretamente serão apresentadas com essas incertezas (resumo no final).

Passo 7

Cálculo do volume do cilindro e propagação de incerteza.
  • Fórmula do volume do cilindro:
V=\pi r^2 h,
onde r é o raio médio e h a altura média.
  • Calculei o volume usando as médias não arredondadas (melhor para precisão):
V=\pi\,(1,806)^2\,(6,984)\approx71,606\\ \text{cm}^3.
  • Propagação de incerteza: para V=\pi r^2 h (produto com potência), a incerteza relativa é
\frac{u_V}{V}=\sqrt{\left(2\frac{u_r}{r}\right)^2+\left(\frac{u_h}{h}\right)^2},
onde u_r e u_h são as incertezas totais de r e h calculadas no Passo 5.
  • Substituindo u_r\approx0,0538, u_h\approx0,0632, r=1,806, h=6,984:
\frac{u_V}{V}\approx\sqrt{\bigg(2\frac{0,0538}{1,806}\bigg)^2+\bigg(\frac{0,0632}{6,984}\bigg)^2}\approx0,0603.
u_V\approx V\times0,0603\approx71,606\times0,0603\approx4,32\\ \text{cm}^3.
  • Arredondando u_V a dois algarismos significativos (prática comum quando a incerteza é alguns inteiros) obtemos u_V\approx4,3\\ \text{cm}^3. Ajustando V para a mesma casa decimal dá V\approx71,6\\ \text{cm}^3.

Passo 8

Resumo final e incentivo: foi feito o cálculo da média, do desvio-padrão, do erro experimental (erro padrão), do erro instrumental e da combinação das incertezas; depois usamos propagação para o volume. Você está indo bem — é esse tipo de passo a passo que cai na prova!

Resposta

(a) \text{EE}_r=0,020\\ \text{cm},\\ \text{EE}_h=0,039\\ \text{cm};\quad \text{ES}_r=\text{ES}_h=0,05\\ \text{cm}.
(b) r=1,81\pm0,05\\ \text{cm}
h=6,98\pm0,06\\ \text{cm}
(c) V=71,6\pm4,3\\ \text{cm}^3

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