Calcule o valor da soma:
sumn=1^infty 12 n(2 n-1), sabendo que sumn=1^infty(-1)^n+1 alpha^nn=ln (1+alpha).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
S = sumn=1^infty 12n(2n-1),
sabendo que
sumn=1^infty(-1)^n+1,alpha^nn = ln(1+alpha)
O conteúdo aqui é decompor em frações parciais e reconhecer o resultado como a série harmônica alternada.

Passo 2

Fazendo frações parciais em cada termo:
12n(2n-1) = A2n-1 + B2n
Igualando numeradores:
1 = A,(2n) + B,(2n-1) = (2A+2B),n - B
Para todo n temos 2A+2B=0 e -B=1, logo A=1 e B=-1. Assim
12n(2n-1) = 12n-1 - 12n

Passo 3

Substituindo na soma,
S = sumn=1^inftyl(12n-1 - 12nr) = l(1 - tfrac12r) + l(tfrac13 - tfrac14r) + l(tfrac15 - tfrac16r) + cdots
Isso é exatamente a série harmônica alternada
1 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + cdots = sumk=1^infty (-1)^k+11k

Passo 4

Pela fórmula dada, com alpha = 1,
sumk=1^infty (-1)^k+11k = ln(1+1) = ln 2
Logo
S = ln 2

Resposta

ln 2

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