(3,0 pontos) Usando integral dupla, calcule o volume do sólido delimitado pelo parabolóide z=x^2+y^2-9 e pelos três planos coordenados. Explique os limites de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 - 9 e pelos planos coordenados x=0, y=0 e z=0. Isso envolve usar integral dupla, projetando o sólido no plano xy e integrando a diferença entre a superfície superior (plano z=0) e a inferior (paraboloide).

Passo 2

A projeção D do sólido no plano xy vem de exigir que a parte inferior fique abaixo da superior, isto é x^2 + y^2 - 9 <= 0, junto com x>=0 e y>=0. Logo,
D = (x,y): x>=0,;y>=0,;x^2 + y^2 <= 9,

Passo 3

O volume ocorre subtraindo a função inferior da superior em cada ponto de D:
V = integral duplaD l(0 - (x^2 + y^2 - 9)r),dA = integral duplaD (9 - x^2 - y^2),dA

Passo 4

Para facilitar a conta, passamos a coordenadas polares, com x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta, e os limites ficam rin[0,3] e thetain[0,tfracpi2]. Assim:
V = integral0^pi/2 integral0^3 (9 - r^2),r,dr,dtheta

Passo 5

Agora basta calcular:
integral0^3 (9r - r^3),dr = l[tfrac9r^22 - tfracr^44r]0^3 = tfrac814,
integral0^pi/2 dtheta = tfracpi2,
portanto
V = tfrac814 cdot tfracpi2 = tfrac81pi8

Resposta

81pi8

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