(3,0 pontos) Usando integral dupla, calcule o volume do sólido delimitado pelo parabolóide
e pelos três planos coordenados. Explique os limites de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido delimitado pelo paraboloide
e pelos planos coordenados
,
e
. Isso envolve usar integral dupla, projetando o sólido no plano
e integrando a diferença entre a superfície superior (plano
) e a inferior (paraboloide).
Passo 2
A projeção
do sólido no plano
vem de exigir que a parte inferior fique abaixo da superior, isto é
, junto com
e
. Logo,
Passo 3
O volume ocorre subtraindo a função inferior da superior em cada ponto de
:
Passo 4
Para facilitar a conta, passamos a coordenadas polares, com
,
,
, e os limites ficam
e
. Assim:
Passo 5
Agora basta calcular:
portanto