Exercício 12: Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
-x^2+6 x-8

Passo 1

O enunciado pede para usar completamento de quadrados na função quadrática
f(x) = -x^2 + 6x - 8
para encontrar as raízes reais (se existirem) e, em seguida, esboçar o gráfico dessa parábola. O conteúdo da matéria aqui é a técnica de completamento de quadrados para identificar vértice, concavidade e raízes de uma função quadrática.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) de modo a completar o quadrado. Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2:
f(x) = -l(x^2 - 6xr) - 8
Agora, dentro do colchete, completamos o quadrado: adicionamos e subtraímos 3^2=9:
f(x) = -l[x^2 - 6x + 9 - 9r] - 8 = -l[(x-3)^2 - 9r] - 8 = -(x-3)^2 + 9 - 8 = -(x-3)^2 + 1

Passo 3

Para achar as raízes, impomos f(x)=0:
-(x-3)^2 + 1 = 0 Longrightarrow (x-3)^2 = 1 Longrightarrow x - 3 = pm 1 Longrightarrow x = 3 pm 1
Logo, as raízes reais são
x = 2 e x = 4

Passo 4

Agora, usamos as informações para esboçar o gráfico:
  • Vértice em (3,1), pois f(x)=-(x-3)^2+1.
  • Concavidade para baixo (coeficiente de (x-3)^2 é negativo).
  • Eixo de simetria x=3.
  • Interceptos com o eixo x em (2,0) e (4,0).
  • Intercepto com o eixo y em f(0) = -0^2 + 6cdot0 -8 = -8, ou seja, (0,-8).
No esboço, desenhe uma parábola virada para baixo, passando por esses pontos e com vértice em (3,1).

Resposta

Raízes reais: x=2 e x=4.
Vértice: (3,1).
Concavidade: para baixo.
Interceptos: (2,0), (4,0) e (0,-8).
Eixo de simetria: x=3.

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