Exercício 12: Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para usar completamento de quadrados na função quadrática
para encontrar as raízes reais (se existirem) e, em seguida, esboçar o gráfico dessa parábola. O conteúdo da matéria aqui é a técnica de completamento de quadrados para identificar vértice, concavidade e raízes de uma função quadrática.
Passo 2
Vamos reescrever
de modo a completar o quadrado. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, dentro do colchete, completamos o quadrado: adicionamos e subtraímos
:
Passo 3
Para achar as raízes, impomos
:
Logo, as raízes reais são
Passo 4
Agora, usamos as informações para esboçar o gráfico:
- Vértice em
, pois . - Concavidade para baixo (coeficiente de
é negativo). - Eixo de simetria
. - Interceptos com o eixo
em e . - Intercepto com o eixo
em , ou seja, .
No esboço, desenhe uma parábola virada para baixo, passando por esses pontos e com vértice em
.
Resposta
Raízes reais:
e
.
Vértice: .
Concavidade: para baixo.
Interceptos: ,
e
.
Eixo de simetria: .
Vértice:
Concavidade: para baixo.
Interceptos:
Eixo de simetria: