Uma esfera de raio
é suspensa por um fio a partir de um ponto fixo, tal que a distância do centro da esfera ao ponto de suspensão vale
. Ache o período do pêndulo para pequenas oscilações. Mostre que, para
resultado encontrado tende ao conhecido caso do pêndulo físico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o período de um pêndulo que é uma esfera presa por um fio. A esfera tem raio $ R $ e está suspensa a partir de um ponto fixo, de modo que a distância do centro da esfera até o ponto de suspensão é $ L $. A gente precisa descobrir o período das oscilações para movimentos pequenos e mostrar que, quando $ R $ é bem menor que $ L $ (ou seja, $ R \ll L $), o resultado se aproxima do período conhecido do pêndulo físico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e do pêndulo físico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período $ T $ de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
Aqui, $ I $ é o momento de inércia da massa em relação ao ponto de suspensão, $ m $ é a massa da esfera, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ d $ é a distância do ponto de suspensão até o centro de massa da esfera, que nesse caso é $ L $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia $ I $ da esfera em relação ao ponto de suspensão. Sabemos que o momento de inércia de uma esfera em relação ao seu próprio centro é:
Mas como o ponto de rotação não está no centro, usamos o teorema de Steiner (ou teorema dos eixos paralelos):
Passo 4
Substituindo esse valor de $ I $ na fórmula do período, temos:
Aqui, o $ m $ cancela, simplificando a expressão.
Passo 5
Vamos agora analisar o caso em que $ R \ll L $. Isso significa que o termo $ \frac{2}{5} R^2 $ é muito pequeno comparado a $ L^2 $, então podemos desprezá-lo:
Essa é justamente a fórmula do período do pêndulo simples, onde o momento de inércia é desprezível em comparação com o termo $ m L^2 $.
Resposta
O período do pêndulo para pequenas oscilações é $ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{2}{5} R^2 + L^2}{g L}} $. Quando $ R $ é muito menor que $ L $ ($ R \ll L $), o período se aproxima de $ T \approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $, que é o resultado conhecido para o pêndulo físico.