Calcule o valor dos três primeiros limites abaixo e mostre que o último não existe.
Passo 1
Temos que calcular
. É um limite de função complexa, então precisamos verificar se há um único valor para
quando
se aproxima de zero por quaisquer caminhos no plano.
Passo 2
Para isso, representamos
em coordenadas polares:
Então
Note que esse valor depende apenas de
, não de
.
Passo 3
Escolhemos dois caminhos para
:
— Eixo real positivo: leva a
— Eixo real positivo:
— Eixo imaginário positivo:
leva a
Como obtemos valores diferentes (1 e -1) dependendo do caminho, não há limite único.
Resposta
O limite não existe.