Calcule o valor dos três primeiros limites abaixo e mostre que o último não existe.
lim z 0 zbarz

Passo 1

Temos que calcular limzto0 zbar z. É um limite de função complexa, então precisamos verificar se há um único valor para zbar z quando z se aproxima de zero por quaisquer caminhos no plano.

Passo 2

Para isso, representamos z em coordenadas polares:
z = r e^itheta, bar z = r e^-itheta
Então
zbar z = r e^ithetar e^-itheta = e^i2theta
Note que esse valor depende apenas de theta, não de r.

Passo 3

Escolhemos dois caminhos para zto0:
— Eixo real positivo: theta=0 leva a
zbar zto e^icdot0=1
— Eixo imaginário positivo: theta=tfracpi2 leva a
zbar zto e^ipi=-1
Como obtemos valores diferentes (1 e -1) dependendo do caminho, não há limite único.

Resposta

O limite não existe.

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