Use as fórmulas de soma para verificar as expressões abaixo.
sen(z)=sen x cosh y+j cos x senh y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para o número complexo z=x+j y, vale a fórmula
sin(z)=sin x,cosh y + j,cos x,sinh y
O conteúdo usado será a fórmula de soma de ângulos na função seno e as expressões de cos(jy) e sin(jy) em termos das funções hiperbólicas.

Passo 2

Vamos escrever sin(z) com z=x+j y e aplicar a fórmula de soma:
sin(x+j y)=sin x,cos(jy)+cos x,sin(jy)

Passo 3

Precisamos agora expressar cos(jy) e sin(jy) em termos de cosh e sinh. Usando as definições via exponenciais complexas:
cos(jy)=e^j,(jy)+e^-j,(jy)2=e^-y+e^y2=cosh y,
sin(jy)=e^j,(jy)-e^-j,(jy)2j=e^-y-e^y2j=j,e^y-e^-y2=j,sinh y

Passo 4

Substituindo de volta em sin(x+j y)=sin x,cos(jy)+cos x,sin(jy) obtemos:
sin(x+j y)=sin x,cosh y+cos x,l(j,sinh yr)
que é exatamente
sin(z)=sin x,cosh y + j,cos x,sinh y

Resposta

sin(z)=sin x,cosh y + j,cos x,sinh y.

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