Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
sumn=1^+infty (-2)^nn x^n

Passo 1

Resumo do enunciado e o que vamos usar: temos a série de potências sumn=1^infty (-2)^nnx^n. O conteúdo é séries de potências, e para achar o raio de convergência vamos usar o teste da razão (ou da raiz).

Passo 2

Aplicação do teste da razão: seja an=tfrac(-2)^nn. Precisamos de
limntoinfty|an+1x^n+1an x^n|<1
Calculando,
|an+1x^n+1an x^n|=|(-2)^n+1/(n+1),x^n+1(-2)^n/n,x^n|=2|x|cdotnn+1xrightarrowntoinfty2|x|

Passo 3

Determinação do raio de convergência: a condição 2|x|<1 |x|. Então o raio de convergência é R=tfrac12.

Passo 4

Análise dos extremos:
Para x=tfrac12:
sumn=1^infty(-2)^nnl(tfrac12r)^n=sumn=1^infty(-1)^nn,
que converge pelo critério de Leibniz (série alternada).
Para x=-tfrac12:
sumn=1^infty(-2)^nnl(-tfrac12r)^n=sumn=1^infty1n,
que é a série harmônica, divergente.

Passo 5

Conclusão do intervalo: a série converge se e somente se -tfrac12, incluindo x=tfrac12 e excluindo x=-tfrac12. Logo o intervalo de convergência é (-tfrac12,tfrac12].

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac12. Intervalo de convergência: (-tfrac12,tfrac12].

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