Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
Passo 1
Resumo do enunciado e o que vamos usar: temos a série de potências . O conteúdo é séries de potências, e para achar o raio de convergência vamos usar o teste da razão (ou da raiz).
que converge pelo critério de Leibniz (série alternada).
Para x=-tfrac12:
sumn=1^infty(-2)^nnl(-tfrac12r)^n=sumn=1^infty1n,
que é a série harmônica, divergente.
Passo 5
Conclusão do intervalo: a série converge se e somente se -tfrac12, incluindo x=tfrac12 e excluindo x=-tfrac12. Logo o intervalo de convergência é (-tfrac12,tfrac12].
Resposta
Raio de convergência: R=tfrac12. Intervalo de convergência: (-tfrac12,tfrac12].