Calcule os valores dos componentes para o filtro rejeita-faixa RLC em série do exercício anterior, de modo que a frequência central seja 4 kHz e o fator de qualidade seja 5 . Use um capacitor de 500 nF .

Passo 1

O enunciado pede: escolher os valores dos componentes de um filtro rejeita-faixa RLC em série de modo que a frequência central seja 4\\ \text{kHz} e o fator de qualidade seja 5. Foi dado o valor do capacitor: C=500\\ \text{nF}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Frequência central pedida: f_0=4{,}0\times10^{3}\\ \text{Hz}.
  • Fator de qualidade desejado: Q=5.
  • Capacitância disponível: C=500\\ \text{nF}=500\times10^{-9}\\ \text{F}.
O que precisamos encontrar: os valores de L e R (indutância e resistência) do ramo série de forma que o circuito tenha a frequência central e o Q pedidos. A constante C já está fixada.

Passo 2

Relembrando e explicando as fórmulas que vamos usar (aula rápida):
  • A frequência angular de ressonância é \omega_{0}=2\pi f_{0}. A frequência central de um circuito RLC série (ressonância) é dada por
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Nessa fórmula:
  • \omega_{0} é a frequência angular de ressonância em \text{rad/s},
  • L é a indutância em henrys ( \text{H}),
  • C é a capacitância em farads ( \text{F}).
  • O fator de qualidade Q para um circuito RLC série é dado por
Q=\frac{\omega_{0}L}{R}.
Nessa fórmula:
  • R é a resistência série em ohms ( \Omega).
    Essa definição de Q significa, na prática, que um Q maior dá uma banda mais estreita em torno da frequência de rejeição (no caso do ramo série usado como notch).
A partir dessas duas fórmulas podemos isolar L e R:
  • De \omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} segue
L=\frac{1}{\omega_{0}^{2}C}.
  • De Q=\dfrac{\omega_{0}L}{R} segue
R=\frac{\omega_{0}L}{Q}.

Passo 3

Calcular \omega_{0} a partir de f_{0}:
\omega_{0}=2\pi f_{0}=2\pi\cdot 4{,}0\times10^{3}.
Vamos manter os números para cálculo manual:
\omega_{0}=8000\pi\\ \text{rad/s}\approx 2{,}5132\times10^{4}\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular L usando L=\dfrac{1}{\omega_{0}^{2}C}. É conveniente usar a forma equivalente
L=\frac{1}{4\pi^{2}f_{0}^{2}C},
porque evita calcular \omega_{0} ao quadrado separadamente.
Substituindo os valores:
4\pi^{2}\approx 39{,}4784176, \qquad f_{0}^{2}=(4{,}0\times10^{3})^{2}=16{,}0\times10^{6},
C=500\times10^{-9}\\ \text{F}=5{,}00\times10^{-7}\\ \text{F}.
Agora o produto no denominador:
4\pi^{2}f_{0}^{2}C \approx 39{,}4784176 \times 16{,}0\times10^{6} \times 5{,}00\times10^{-7}.
Calcule passo a passo:
39{,}4784176\times 16{,}0\times10^{6}=631{,}654{,}681{,}6,
631{,}654{,}681{,}6 \times 5{,}00\times10^{-7}=315{,}827{,}340{,}8\times10^{0}=315{,}827{,}340{,}8.
Portanto
L=\frac{1}{315{,}827{,}340{,}8}\\ \text{H}\approx 3{,}166152\times10^{-3}\\ \text{H}.
Escrevendo em unidade prática:
L\approx 3{,}166\times10^{-3}\\ \text{H}=3{,}166\\ \text{mH}.
(Observação didática: se preferir calcular de forma aproximada de cabeça, pode usar 4\pi^{2}\approx 39{,}48 e seguir os mesmos passos; o resultado fica muito próximo.)

Passo 5

Calcular R usando R=\dfrac{\omega_{0}L}{Q}.
Já temos \omega_{0}\approx 2{,}513274\times10^{4}\\ \text{rad/s} e L\approx 3{,}166152\times10^{-3}\\ \text{H}, com Q=5. Então:
\omega_{0}L \approx 2{,}513274\times10^{4}\times 3{,}166152\times10^{-3}.
Calcule o produto:
\omega_{0}L \approx 79{,}571474\\ \text{(adimensional, pois rad/s·H = Ω)}.
Agora
R=\frac{\omega_{0}L}{Q}\approx\frac{79{,}571474}{5}=15{,}9142948\\ \Omega.
Arredondando para uma precisão prática:
R\approx 15{,}91\\ \Omega.
Dica prática: em projeto real escolheria um resistor padrão (por exemplo 16\\ \Omega ou 15\\ \Omega conforme a série comercial) e uma bobina com indutância próxima de 3{,}3\\ \text{mH} se for necessário comprar componentes padronizados.

Passo 6

Checagem rápida (sanity check) — calcular o fator de qualidade com os valores encontrados:
Q=\frac{\omega_{0}L}{R}\approx\frac{79{,}571474}{15{,}9142948}\approx 5{,}0,
confirma o Q desejado. Também é possível calcular a largura de banda (em Hz) aproximada:
\text{BW}=\frac{f_{0}}{Q}=\frac{4000}{5}=800\\ \text{Hz}.
Ou seja, a faixa rejeitada tem largura aproximada de 800\\ \text{Hz} centrada em 4{,}0\\ \text{kHz} (conceito útil para entender o que o Q representa).

Resposta

C=500\\ \text{nF}
L\approx 3{,}166\times10^{-3}\\ \text{H}=3{,}166\\ \text{mH}
R\approx 15{,}914\\ \Omega \approx 15{,}91\\ \Omega

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