Calcule os valores de Z, entalpia residual e da entropia residual das seguintes condições:
Acetileno a 300 K e 40 bar.
Acetileno a 300 K e 40 bar.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pedido: calcular o fator de compressibilidade
, a entalpia residual e a entropia residual para acetileno nas condições e . - Dados do problema (convertidos para unidades SI quando necessário):
- Constantes críticas e acentricidade do acetileno (valores usados aqui, obtidos da literatura):
- Constante universal dos gases:
- Vou calcular:
(compressibilidade), (entalpia residual, em J·mol ou kJ·mol ) e (entropia residual, em J·mol K ).
Passo 2
Escolha do método e apresentação das fórmulas principais (explicando cada símbolo).
- Método escolhido: usar a equação de estado de Peng–Robinson (PR). Motivo: é bastante usada para hidrocarbonetos e fornece boa previsão para
e propriedades residuais em condições de alta pressão próximas da região crítica. - Fórmulas PR e definições (vou explicar cada parâmetro):
- Parâmetros da PR:
Aqui e têm unidades tais que a EOS funcione; corrige o fator com a temperatura. - Função
: em que - Parâmetros adimensionais usados para formar o polinômio cúbico:
- Equação cúbica em
(forma padrão PR): - Fórmula da entalpia residual (por mol):
- Aqui
é o termo de não-idealidade básico e a segunda parcela ajusta pela dependência de com .
- Aqui
- Fórmula da entropia residual (por mol):
- Parâmetros da PR:
- Explicação curta das variáveis:
é o fator de compressibilidade adimensional; e são parâmetros da EOS (dependem de ); é a derivada de em relação a ; são formas adimensionais de usadas no polinômio cúbico.
Passo 3
Cálculo de
,
e
(passo a passo numérico).
- Primeiro o reduzido:
- Calcular
:
(faça cada multiplicação devagar:
;
, etc.)
- Calcular
:
Passo 4
Cálculo dos parâmetros
e
numéricos (mostrar contas).
- Primeiro o fator
(valor de na temperatura crítica sem ): (esse valor foi obtido computando com os números dados.) - Então
- Parâmetro
:
(Nota: mantive unidades SI:
e
em Pa,
em J·mol
K
, volumes em m
·mol
.)
Passo 5
Cálculo de
e
(parâmetros adimensionais da cúbica) e formação do polinômio.
- Fórmulas:
- Substituindo os números:
- Polinômio cúbico em
: Com os números:
Passo 6
Resolução da equação cúbica para
(procura e interpretação das raízes).
- Para resolver à mão eu avalio o polinômio em alguns pontos para localizar mudança de sinal (método de tentativa):
-
, -
, -
.
-
- Isso mostra que existe uma raiz real perto de
. (Avaliações adicionais indicam que há apenas uma raiz real nesta condição; esta raiz é a que corresponde ao estado de equilíbrio da fase relevante.) - Portanto:
Dica prática para a prova: ao usar EOS cúbicas, procure sempre a maior raiz quando estiver procurando pela fase vapor; aqui há apenas uma raiz real, então é direta.
Passo 7
Preparação para calcular
: expressão simplificada de
.
- Para a EOS de Peng–Robinson com a forma
podemos derivar uma expressão conveniente: (Essa identidade vem de manipular e derivar em relação a ; usei a notação para na temperatura crítica.) - Então o coeficiente que aparece na fórmula de
fica - Vamos calcular esse número (passo a passo):
-
. -
. -
- Logo
- Com o sinal negativo da expressão, temos
-
Passo 8
Cálculo da entalpia residual
(substituindo e calculando termos numéricos).
- Fórmula usada:
- Primeiro termo:
- Logaritmo:
- Segundo termo:
- Somando:
- Interpretação rápida:
indica que, comparado ao gás ideal à mesma , o fluido real tem entalpia menor (efeito de forças intermoleculares e compressibilidade).
Passo 9
Cálculo de
e da entropia residual
.
- Derivada
(usei a expressão direta já obtida no passo anterior dividindo por quando preciso): - A partir de
podemos obter (mas é mais simples calcular numericamente pela expressão direta já usada em Passo 7; o valor numérico que obtivemos foi)
- A partir de
- Coeficiente que aparece em
: - Fórmula (relembrando):
- Calculando termos:
- Somando:
- Interpretação:
pequeno e positivo aqui; sinal e magnitude dependem do balanço entre a redução do volume disponível ( ) e o efeito da dependência de com .
Passo 10
Cheque rápido de coerência (opcional mas útil para prova).
- Podemos verificar a consistência usando
: o valor é razoável e compatível com os termos já calculados (sinal e ordem de grandeza coerentes).