Um gás ideal com capacidade calorífica constantes, passa por uma mudança de estado das condições T_{1}, P_{1} para as condições T_{2}, P_{2}. Determine a variação de entalpia e a variação de entropia para cada um dos casos:
\mathrm{T}_{1}=300 \mathrm{~K}, \mathrm{P}_{1}=1,2 \mathrm{bar}, \mathrm{T}_{2}=500 \mathrm{~K} e \mathrm{P}_{2}=6 \mathrm{bar}, \mathrm{C}_{\mathrm{p}} / \mathrm{R}=7 / 2

Passo 1

O enunciado pede a variação de entalpia e a variação de entropia para um gás ideal com capacidades caloríficas constantes, quando o estado passa de T_{1}=300\\ \mathrm{K},\;P_{1}=1,2\\ \mathrm{bar} para T_{2}=500\\ \mathrm{K},\;P_{2}=6\\ \mathrm{bar}. Dados fornecidos importantes:
T_{1}=300\\ \mathrm{K},\quad P_{1}=1,2\\ \mathrm{bar},\quad T_{2}=500\\ \mathrm{K},\quad P_{2}=6\\ \mathrm{bar},
\frac{C_{p}}{R}=\frac{7}{2}.
Não foi especificado se as quantidades são por mol ou por massa; vou resolver por mol (variações molares), usando R=8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. As perguntas são: (1) calcular \Delta h e (2) calcular \Delta s.

Passo 2

Fórmula para a variação de entalpia de um gás ideal com C_{p} constante: expliquei por que e qual fórmula usar.
  • Conceito: para um gás ideal a entalpia molar h depende apenas da temperatura. Com C_{p} constante, a diferencial é dh = C_{p}\,dT.
  • Integração entre os estados dá a expressão prática:
\Delta h = h_{2}-h_{1} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{p}\,dT = C_{p}\,(T_{2}-T_{1}).
Aqui C_{p} é a capacidade calorífica molar a pressão constante ( \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}), e T em \mathrm{K}. Essa fórmula é direta e muito usada em provas: basta multiplicar C_{p} pela diferença de temperaturas.

Passo 3

Calcular C_{p} numérico a partir de \dfrac{C_{p}}{R}=\dfrac{7}{2}.
  • Primeiro, escrevo a relação:
C_{p}=\frac{7}{2}\,R.
  • Substituo R=8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
C_{p}=3,5\times 8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Faço a conta (mostrando passo a passo):
C_{p}=29,100619163\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\approx 29,1006\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
(Arredondei mantendo muitas casas para precisão nas contas posteriores.)

Passo 4

Calcular \Delta h com a fórmula do Passo 2.
  • A diferença de temperatura é
T_{2}-T_{1}=500-300=200\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando \Delta h = C_{p}(T_{2}-T_{1}):
\Delta h = 29,100619163\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 200\\ \mathrm{K}.
  • Multiplicando:
\Delta h = 5\,820,1238326\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\approx 5\,820\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
É comum expressar em \mathrm{kJ\,mol^{-1}}:
\Delta h \approx 5,82\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 5

Agora a variação de entropia: qual fórmula usar e por quê.
  • Para um gás ideal com C_{p} constante, a diferencial exata da entropia molar s pode ser escrita (derivada da relação termodinâmica e da equação de estado do gás ideal) como
ds = \frac{C_{p}}{T}\,dT - \frac{R}{P}\,dP.
  • Integrando de (T_{1},P_{1}) a (T_{2},P_{2}), obtemos:
\Delta s = \int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{p}}{T}\,dT - \int_{P_{1}}^{P_{2}}\frac{R}{P}\,dP.
  • Como C_{p} e R são constantes:
\Delta s = C_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right).
Essa é a fórmula padrão em provas para gás ideal com C_{p} constante.

Passo 6

Calcular numericamente \Delta s. Primeiro avalio os logaritmos.
  • Razão de temperaturas:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{500}{300}=\frac{5}{3}\approx 1,6666667,
\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{5}{3}\right)\approx 0,510825624.
  • Razão de pressões (observe que unidades cancelam; usar bar é OK pois é razão):
\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{6}{1,2}=5,
\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)=\ln(5)\approx 1,609437912.

Passo 7

Multiplico pelos coeficientes e faço a subtração.
  • Primeiro termo:
C_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=29,100619163\\ \times 0,510825624\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \approx 14,865\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Segundo termo:
R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)=8,314462618\\ \times 1,609437912\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \approx 13,3816\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Subtraindo:
\Delta s \approx 14,865 - 13,3816 = 1,4834\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
(Arredondando razoavelmente)
\Delta s \approx 1,48\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 8

Resumo rápido do que fizemos e encorajamento final.
  • Usei \Delta h = C_{p}(T_{2}-T_{1}) porque entalpia de gás ideal depende só de T.
  • Usei \Delta s = C_{p}\ln(T_{2}/T_{1}) - R\ln(P_{2}/P_{1}) que vem da integração de ds = \dfrac{C_{p}}{T}dT - \dfrac{R}{P}dP.
  • Resultados numéricos foram calculados por mol. Mandando ver na prova: memorize as fórmulas e lembre-se de sempre checar se C_{p} é dado por razão com R (aí é rápido).

Resposta

\Delta h = 5,82\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
\Delta s = 1,48\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

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