Um ar condicionado, resfria 50 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{s} de ar a 94^{\circ} \mathrm{F} para 68^{\circ} \mathrm{F}. Qual é a taxa de transferência necessária?

Passo 1

O enunciado diz: um ar condicionado resfria um fluxo volumétrico de ar de 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{s} de 94^\circ\mathrm{F} para 68^\circ\mathrm{F}. A pergunta é: qual é a taxa de transferência de calor necessária (ou seja, a potência térmica que o ar condicionado deve remover)?\n
Dados fornecidos:
\dot V = 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{s},\qquad T_{\text{entrada}}=94^\circ\mathrm{F},\qquad T_{\text{saída}}=68^\circ\mathrm{F}.í
O que precisamos achar: \dot Q (taxa de transferência de calor).

Passo 2

Estratégia física (sem calcular ainda): para fluxo de ar em regime contínuo usamos a relação
\dot Q = \dot m\, c_p\, \Delta T,
onde:
  • \dot Q é a taxa de calor (energia por tempo),
  • \dot m é a vazão mássica de ar (massa por tempo),
  • c_p é o calor específico do ar à pressão constante (energia por massa por grau),
  • \Delta T é a variação de temperatura (temperatura entrada menos saída, em ^\circ\mathrm{F} aqui).\n
    Portanto precisamos obter \dot m a partir da vazão volumétrica \dot V usando \dot m=\rho\,\dot V, onde \rho é a densidade do ar.

Passo 3

Escolhendo propriedades típicas do ar a temperatura ambiente (valores comumente usados em exercícios):
\rho \approx 0{,}075\\ \mathrm{lbm/ft}^3,\qquad c_p \approx 0{,}24\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot^\circ F)}.
Explico rapidinho: \rho é a massa por volume; c_p diz quanta energia (em Btu) é necessária para aumentar 1 libra de ar em 1^\circ\mathrm{F}. Esses valores são aproximações padrão usadas em problemas de HVAC sem dados mais precisos.

Passo 4

Calcule a vazão mássica \dot m usando \dot m=\rho\,\dot V. Substituindo:
\dot m = 0{,}075\\ \mathrm{lbm/ft}^3 \times 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{s}.
Agora a conta (vou mostrar passo a passo para você repetir na prova):
0{,}075\times 50 = 3{,}75,
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\dot m = 3{,}75\\ \mathrm{lbm/s}.

Passo 5

Calcule a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_{\text{entrada}}-T_{\text{saída}} = 94^\circ\mathrm{F}-68^\circ\mathrm{F}=26^\circ\mathrm{F}.í
(Use sempre a diferença na ordem que faça \Delta T positiva para remoção de calor.)

Passo 6

Agora aplique a fórmula da taxa de calor:
\dot Q = \dot m\, c_p\, \Delta T.
Substituindo os números:
\dot Q = 3{,}75\\ \mathrm{lbm/s}\times 0{,}24\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot^\circ F)}\times 26^\circ\mathrm{F}.
Faço as multiplicações passo a passo:
3{,}75\times 0{,}24 = 0{,}90,
0{,}90\times 26 = 23{,}4.
Portanto
\dot Q = 23{,}4\\ \mathrm{Btu/s}.

Passo 7

Convém dar o resultado em unidades práticas usadas em refrigeração. Primeiro em \mathrm{Btu/h}:
\dot Q = 23{,}4\\ \mathrm{Btu/s}\times 3600\\ \mathrm{s/h}=84\,240\\ \mathrm{Btu/h}.
Em toneladas de refrigeração (1 tonelada = 12\,000\\ \mathrm{Btu/h}):
\text{toneladas}=\frac{84\,240}{12\,000}\approx 7{,}02\\ \text{ton}.

Passo 8

Também converto para o Sistema Internacional (watts) porque é útil: 1\\ \mathrm{Btu}=1055{,}06\\ \mathrm{J}, então 1\\ \mathrm{Btu/s}=1055{,}06\\ \mathrm{W}. Assim
\dot Q = 23{,}4\\ \mathrm{Btu/s}\times 1055{,}06\\ \mathrm{W/(Btu/s)}\approx 24\,689\\ \mathrm{W}\approx 24{,}7\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Observações e incentivo: o resultado depende das propriedades assumidas ( \rho e c_p). Esses valores são padrões para ar próximo a temperatura ambiente; usar valores ligeiramente diferentes muda pouco o resultado. Você conseguiu! Na prova, escreva claramente as hipóteses (valores usados), mostre \dot m=\rho\dot V e \dot Q=\dot m c_p\Delta T e faça as contas como acima.

Resposta

23{,}4\\ \mathrm{Btu/s} = 84\,240\\ \mathrm{Btu/h} = 24{,}7\\ \mathrm{kW} 7{,}02\\ \text{ton}

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