Mostre que Lx, Ly, Lz,que são operadores diferenciais, satisfazem as seguintes identidades fundamentais
& [Lx, Ly]=i hbar Lz & [Lz, Lx]=i hbar Ly & [Ly, Lz]=i hbar Lx
onde a operação entre colchetes se chama de comutador de Li e Lj e é definido como sendo o seguinte produto
[Li, Lj] equiv Li Lj-Lj Li
(Dica: faça este cálculo em coordenadas retangulares, pois é mais simples).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos as identidades de comutadores dos operadores angulares em coordenadas cartesianas, ou seja, provar que
[Lx, Ly] = ihbar Lz, [Lz, Lx] = ihbar Ly, [Ly, Lz] = ihbar Lx
O conteúdo é o momento angular quântico e iremos usar definições de operadores diferenciais e propriedades de comutadores para resolvê-lo.

Passo 2

Em cartesianas definimos
Lx = ihbar,(ypartialz - zpartialy), Ly = ihbar,(zpartialx - xpartialz), Lz = ihbar,(xpartialy - ypartialx)
Além disso usamos as identidades fundamentais de comutadores entre coordenadas e derivadas:
[partiali, xj] = de

Passo 3

Vamos calcular [Lx,Ly] de forma mais elegante definindo
Ax = ypartialz - zpartialy, Ay = zpartialx - xpartialz,
e escrevendo
[Lx,Ly] = (ihbar)^2,[Ax,Ay] = -hbar^2,[Ax,Ay]
Agora expandimos
[Ax,Ay] = [ypartialz,,zpartialx] - [ypartialz,,xpartialz] - [zpartialy,,zpartialx] + [zpartialy,,xpartialz]
Usando [partiali,xj]=de e que demais comutadores são zero, obtemos
[ypartialz, zpartialx] = y,partialx, [zpartialy, xpartialz] = -x,partialy,
e os outros dois termos se anulam. Então
[Ax,Ay] = ypartialx - xpartialy = Az
Daí
[Lx,Ly] = -hbar^2,Az = -hbar^2,1ihbarLz = ihbar,Lz

Passo 4

Pelas mesmas contas, ou simplesmente usando permutações cíclicas de (x,y,z), chegamos a
[Lz,Lx] = ihbar,Ly, [Ly,Lz] = ihbar,Lx

Resposta

As identidades fundamentais de comutadores ficam:
[Lx, Ly] = ihbar,Lz, [Lz, Lx] = ihbar,Ly, [Ly, Lz] = ihbar,Lx

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