Mostre que
,que são operadores diferenciais, satisfazem as seguintes identidades fundamentais
onde a operação entre colchetes se chama de comutador de
e é definido como sendo o seguinte produto
(Dica: faça este cálculo em coordenadas retangulares, pois é mais simples).
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos as identidades de comutadores dos operadores angulares em coordenadas cartesianas, ou seja, provar que
O conteúdo é o momento angular quântico e iremos usar definições de operadores diferenciais e propriedades de comutadores para resolvê-lo.
Passo 2
Em cartesianas definimos
Além disso usamos as identidades fundamentais de comutadores entre coordenadas e derivadas:
Passo 3
Vamos calcular
de forma mais elegante definindo
e escrevendo
Agora expandimos
Usando
e os outros dois termos se anulam. Então
Daí
Passo 4
Pelas mesmas contas, ou simplesmente usando permutações cíclicas de
, chegamos a
Resposta
As identidades fundamentais de comutadores ficam: