Considere uma situação parecida a do problema anterior. Um cabo infinito e muito fino que transporta corrente i e tem densidade de carga nula no referencial das cargas fixas positivas, além disso, considere uma partícula de carga q posicionada a uma distância l do cabo e viajando em direção paralela ao cabo com a mesma velocidade (relativística) u dos elétrons no cabo.
(a) Calcule a densidade linear de carga no referencial S^prime da partícula de carga q.
(b) Calcule as forças elétrica FE e magnética FB sentidas pela carga q no referencial S das cargas fixas positivas.
© Repita o cálculo anterior no referencial S^prime.
(d) Considerando que a distância l é a mesma nos dois referenciais, aplique a transformação de forças: F=F^prime / gamma e compare os resultados de © e (b).

Passo 1

A questão trata de relatividade e eletromagnetismo. Temos um fio infinito e neutro no referencial S (densidade de carga linear total nula) que transporta corrente i devido a elétrons movendo-se com velocidade u. Uma carga de teste q viaja paralela ao fio também com velocidade u. Precisamos usar: transformação de densidade linear por Lorentz, campo de fio infinito e força eletromagnética sobre carga em movimento.

Passo 2

No referencial S o fio é neutro, logo as densidades lineares positiva e negativa satisfazem λ++λ−=0. A corrente i vem só dos elétrons: i=−λ−u. Dessas equações obtemos
λ-=-iu, λ+=iu

Passo 3

No referencial S′ (movendo-se com velocidade u dos elétrons):
  • Os elétrons estão em repouso em S′, então sua densidade sofre dilatação inversa: λ’e=λ-/γ.
  • As cargas positivas movem-se com velocidade −u, então sofrem contração: λ’+=γλ+.
    Somando,
λ'=λ'++λ'e=γλ+ + λ-γ=i u γc^2

Passo 4

No referencial S, o campo elétrico do fio neutro é E=0. O campo magnético a distância l de um fio infinito é
B=μ0 i2π l
A força elétrica é F_E=qE=0. A força magnética sobre q que se move com velocidade u é
FB=q,u,B= q,u,μ0 i2π l

Passo 5

No referencial S′, a carga q está em repouso, logo F’_B=0. Mas há campo elétrico radial pelo excesso de carga λ’:
E'=λ'2π ε0 l=i u γ2π ε0 c^2 l
Assim
F'E=qE'= q,i u γ2π ε0 c^2 l, F'B=0

Passo 6

Para forças perpendiculares usa-se F⊥=F’_⊥/γ. Da parte elétrica em S′ (que é perpendicular à direção do movimento) temos
F=F'Eγ= q,i u2π ε0 c^2 l=q,u,μ0 i2π l=FB
do referencial S. Isso confirma a coerência entre os resultados.

Resposta

(a) λ'=i,u,γc^2
(b) FE=0, FB=q,u,μ0 i2π l
© F'B=0, F'E=q,i,u,γ2π ε0 c^2 l
(d) A transformação F⊥=F'⊥/γ
F=q,u,μ0 i2π l, que coincide com FB do item (b).

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