Considere uma situação parecida a do problema anterior. Um cabo infinito e muito fino que transporta corrente
e tem densidade de carga nula no referencial das cargas fixas positivas, além disso, considere uma partícula de carga
posicionada a uma distância
do cabo e viajando em direção paralela ao cabo com a mesma velocidade (relativística)
dos elétrons no cabo.
(a) Calcule a densidade linear de carga no referencial
da partícula de carga
.
(b) Calcule as forças elétrica
e magnética
sentidas pela carga
no referencial
das cargas fixas positivas.
© Repita o cálculo anterior no referencial
.
(d) Considerando que a distância
é a mesma nos dois referenciais, aplique a transformação de forças:
e compare os resultados de © e (b).
(a) Calcule a densidade linear de carga no referencial
(b) Calcule as forças elétrica
© Repita o cálculo anterior no referencial
(d) Considerando que a distância
Passo 1
A questão trata de relatividade e eletromagnetismo. Temos um fio infinito e neutro no referencial S (densidade de carga linear total nula) que transporta corrente i devido a elétrons movendo-se com velocidade u. Uma carga de teste q viaja paralela ao fio também com velocidade u. Precisamos usar: transformação de densidade linear por Lorentz, campo de fio infinito e força eletromagnética sobre carga em movimento.
Passo 2
No referencial S o fio é neutro, logo as densidades lineares positiva e negativa satisfazem λ++λ−=0. A corrente i vem só dos elétrons: i=−λ−u. Dessas equações obtemos
Passo 3
No referencial S′ (movendo-se com velocidade u dos elétrons):
- Os elétrons estão em repouso em S′, então sua densidade sofre dilatação inversa: λ’e=λ-/γ.
- As cargas positivas movem-se com velocidade −u, então sofrem contração: λ’+=γλ+.
Somando,
Passo 4
No referencial S, o campo elétrico do fio neutro é E=0. O campo magnético a distância l de um fio infinito é
A força elétrica é F_E=qE=0. A força magnética sobre q que se move com velocidade u é
Passo 5
No referencial S′, a carga q está em repouso, logo F’_B=0. Mas há campo elétrico radial pelo excesso de carga λ’:
Assim
Passo 6
Para forças perpendiculares usa-se F⊥=F’_⊥/γ. Da parte elétrica em S′ (que é perpendicular à direção do movimento) temos
do referencial S. Isso confirma a coerência entre os resultados.
Resposta
(a)
(b)
©
(d) A transformação dá
, que coincide com
do item (b).
(b)
©
(d) A transformação